Рациональное число

Формально рациональные числа определяются как множество классов эквивалентности пар ${\displaystyle \left\{(m,\;n)\mid m,n\in \mathbb {Z} ,n\neq 0\right\}}$ по отношению эквивалентности ${\displaystyle (m,\;n)\sim (m',\;n')}$, если ${\displaystyle m\cdot n'=m'\cdot n}$. При этом операции сложения и умножения определяются следующим образом:

• ${\displaystyle \left(m_{1},\;n_{1}\right)+\left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot n_{2}+m_{2}\cdot n_{1},\;n_{1}\cdot n_{2}\right);}$
• ${\displaystyle \left(m_{1},\;n_{1}\right)\cdot \left(m_{2},\;n_{2}\right)=\left(m_{1}\cdot m_{2},\;n_{1}\cdot n_{2}\right).}$

Из определения видно, что никакие операции сложения или умножения не приводят к появлению пары вида ${\displaystyle (m,0).}$

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Правильные дроби представляют рациональные числа, по модулю меньшие единицы. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной и представляет рациональное число, большее или равное единице по модулю.

Неправильную дробь можно представить в виде суммы целого числа и правильной дроби, называемой смешанной дробью. Например, ${\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}$. Подобная запись (с пропущенным знаком сложения), хотя и употребляется в элементарной арифметике, избегается в строгой математической литературе из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

Высота обыкновенной дроби — это сумма модуля числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — это сумма модуля числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу[2].

Например, чтобы узнать высоту дроби ${\displaystyle -{\frac {15}{6}}}$, нужно сначала из неё получить несократимую дробь. Несократимая дробь будет выглядеть так: ${\displaystyle -{\frac {5}{2}}}$. Потом нужно сложить модуль числителя и знаменатель: ${\displaystyle 5+2=7}$. Значит высота дроби ${\displaystyle -{\frac {15}{6}}}$ равна ${\displaystyle 7}$.

Термин дробное число (дробь) иногда^{[уточнить]} используется как синоним к термину рациональное число, а иногда синоним любого нецелого числа. В последнем случае дробные и рациональные числа являются разными вещами, так как тогда нецелые рациональные числа — всего лишь частный случай дробных.

Множество рациональных чисел удовлетворяют шестнадцати основным свойствам, которые легко могут быть получены из свойств целых чисел.[3]

1. Упорядоченность. Для любых рациональных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} }$) существует правило, позволяющее однозначно идентифицировать между ними одно и только одно из трёх отношений: «${\displaystyle <}$», «${\displaystyle >}$» или «${\displaystyle =}$». Это правило называется правилом упорядочения и формулируется следующим образом:
   • два неотрицательных числа ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}}}$ и ${\displaystyle b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}}$ связаны тем же отношением, что и два целых числа ${\displaystyle m_{a}\cdot n_{b}}$ и ${\displaystyle m_{b}\cdot n_{a}}$;
   • два отрицательных числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ связаны тем же отношением, что и два неотрицательных числа ${\displaystyle \left|b\right|}$ и ${\displaystyle \left|a\right|}$;
   • если же ${\displaystyle a}$ неотрицательно, а ${\displaystyle b}$ — отрицательно, то ${\displaystyle a>b}$.

   

   Суммирование дробей

2. Операция сложения. Для любых рациональных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} }$) существует бинарная операция сложения, которая ставит им в соответствие некоторое рациональное число ${\displaystyle c}$. При этом само число ${\displaystyle c}$ называется суммой чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и обозначается ${\displaystyle \left(a+b\right)}$, а процесс отыскания такого числа называется сложением. Правило сложения имеет следующий вид: ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},\;b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}:a+b\equiv {\frac {m_{a}}{n_{a}}}+{\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot n_{b}+m_{b}\cdot n_{a}}{n_{a}\cdot n_{b}}}}$
3. Операция умножения. Для любых рациональных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ (${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} }$) существует бинарная операция умножения, которая ставит им в соответствие некоторое рациональное число ${\displaystyle c}$. При этом само число ${\displaystyle c}$ называется произведением чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и обозначается ${\displaystyle \left(a\cdot b\right)}$, а процесс отыскания такого числа также называется умножением. Правило умножения имеет следующий вид: ${\displaystyle a={\frac {m_{a}}{n_{a}}},\;b={\frac {m_{b}}{n_{b}}}:a\cdot b\equiv {\frac {m_{a}}{n_{a}}}\cdot {\frac {m_{b}}{n_{b}}}={\frac {m_{a}\cdot m_{b}}{n_{a}\cdot n_{b}}}}$
4. Транзитивность отношения порядка. Для любой тройки рациональных чисел ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (\forall a,b,c\in \mathbb {Q} }$) если ${\displaystyle a}$ меньше ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b}$ меньше ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ меньше ${\displaystyle c}$, а если ${\displaystyle a}$ равно ${\displaystyle b}$ и ${\displaystyle b}$ равно ${\displaystyle c}$, то ${\displaystyle a}$ равно ${\displaystyle c}$.

   ${\displaystyle a<b,\;b<c\;\Rightarrow a<c;\;\;\;a=b,\;b=c\;\Rightarrow a=c.}$

5. Коммутативность сложения. От перемены мест рациональных слагаемых сумма не меняется.

   ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~~a+b=b+a}$

6. Ассоциативность сложения. Порядок сложения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

   ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)}$

7. Наличие нуля. Существует рациональное число 0, которое сохраняет любое другое рациональное число при суммировании.

   ${\displaystyle \exists 0\in \mathbb {Q}$ :~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a+0=a}

8. Наличие противоположных чисел. Любое рациональное число имеет противоположное рациональное число, при суммировании с которым даёт 0.

   ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~\exists \left(-a\right)\in \mathbb {Q}$ :~~a+\left(-a\right)=0}

9. Коммутативность умножения. От перемены мест рациональных множителей произведение не меняется.

   ${\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {Q} ~~a\cdot b=b\cdot a}$

10. Ассоциативность умножения. Порядок перемножения трёх рациональных чисел не влияет на результат.

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a\cdot b\right)\cdot c=a\cdot \left(b\cdot c\right)}$

11. Наличие единицы. Существует рациональное число 1, которое сохраняет любое другое рациональное число при умножении.

    ${\displaystyle \exists 1\in \mathbb {Q}$ :~\forall a\in \mathbb {Q} ~~a\cdot 1=a}

12. Наличие обратных чисел. Любое ненулевое рациональное число имеет обратное рациональное число, умножение на которое даёт 1.

    ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ,\;a\neq 0~\exists a^{-1}\in \mathbb {Q}$ :~~a\cdot a^{-1}=1}

13. Дистрибутивность умножения относительно сложения. Операция умножения согласована с операцией сложения посредством распределительного закона:

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

14. Связь отношения порядка с операцией сложения. К левой и правой частям рационального неравенства можно прибавлять одно и то же рациональное число.

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ~~a<b\Leftrightarrow a+c<b+c}$

15. Связь отношения порядка с операцией умножения. Левую и правую части рационального неравенства можно умножать на одно и то же положительное рациональное число.

    ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} ,\;c>0:a<b\Leftrightarrow a\cdot c<b\cdot c}$

16. Аксиома Архимеда. Каково бы ни было рациональное число ${\displaystyle a}$, можно взять столько единиц, что их сумма превзойдёт ${\displaystyle a}$.

    ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~\exists n\in \mathbb {N}$ :~~\sum _{k=1}^{n}1>a\;\;\Longleftrightarrow \;\forall a\in \mathbb {Q} \;\exists n\in \mathbb {N} :n>a}

Все остальные свойства, присущие рациональным числам, не выделяют в основные, потому что они, вообще говоря, уже не опираются непосредственно на свойства целых чисел, а могут быть доказаны исходя из приведённых основных свойств или непосредственно по определению некоторого математического объекта. Таких дополнительных свойств очень много. Здесь имеет смысл привести лишь некоторые из них.

• Отношение порядка «>» (с противоположным порядком аргументов) также транзитивно.

  ${\displaystyle \forall a,b,c\in \mathbb {Q} :a>b,\;b>c\Rightarrow a>c}$

• Произведение любого рационального числа на ноль равно нулю.

  ${\displaystyle \forall a\in \mathbb {Q} ~~a\cdot 0=0}$

• Рациональные неравенства одного знака можно почленно складывать.

  ${\displaystyle \forall a,b,c,d\in \mathbb {Q} ~~a>b,\;c>d\Rightarrow a+c>b+d}$

• Множество рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ является полем (а именно, полем частных кольца целых чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) относительно операций сложения и умножения дробей.

  ${\displaystyle \left(\mathbb {Q} ,+,\cdot \right)}$ — поле

• В позиционной системе счисления рациональное число представляется периодической дробью. Более того, наличие представления в виде периодической дроби является критерием рациональности вещественного числа.
• Каждое рациональное число является алгебраическим.

  ${\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {A} }$

• Между любыми двумя различными рациональными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ существует хотя бы одно рациональное число ${\displaystyle x}$, такое, что ${\displaystyle a<x}$ и ${\displaystyle x<b}$. (В качестве примера такого числа можно взять ${\displaystyle x=\textstyle {\frac {a+b}{2}}}$.) Ясно, что между ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle x}$, а также между ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle b}$ тоже существует хотя бы по одному рациональному числу. Отсюда следует, что между любыми двумя различными рациональными числами ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ существует бесконечно много рациональных чисел. Иначе говоря, не существует двух соседних рациональных чисел. В частности, не существует наименьшего положительного рационального числа.
• Не существует наибольшего и наименьшего рационального числа. Для любого рационального числа ${\displaystyle x}$ найдутся рациональные (и даже целые) числа ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ такие, что ${\displaystyle a<x}$ и ${\displaystyle x<b}$.