Корни из единицы

Корни n-й степени из единицы — комплексные корни многочлена $x^{n}-1$ , где $n\geqslant 1$ . Другими словами, это комплексные числа, n-я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена $x^{n}-1$ не только в комплексном, но и в произвольном ином поле, характеристика $p$ которого не является делителем степени $n$ многочлена[1].

Корни пятой степени из единицы (вершины пятиугольника)

Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел, быстром преобразовании Фурье[2], теории расширений полей, теории построений циркулем и линейкой, представлениях групп.

Представление

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

1=\cos \ 0+i\ \sin \ 0

Тогда по формуле Муавра получим выражение для $k$ -го корня n-й степени из единицы $u_{k}$ :

u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

u_{k}=e^{{\frac {2\pi k}{n}}i},\quad k=0,1,...,n-1

Из этих формул вытекает, что корней n-й степени из единицы всегда ровно $n$ , и все они различны.

Кубические корни из единицы

Примеры

Кубические корни из единицы:

\left\{1;\ {\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}

Корни 4-й степени из единицы:

\left\{1;\ +i;\ -1;\ -i\right\}

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента, степени каждого из которых охватывают все корни 5-й степени:

\left\{e^{2\pi ik \over 5}|k\in \{1,2,3,4\}\right\}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\right|u,v\in \{-1,1\}\right\}.

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два ( $u_{1}$ и $u_{5}$ ):

\left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.

Свойства

Геометрические свойства

Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника, вписанного в единичную окружность. Одной из вершин всегда является комплексная единица $1+0i.$ Вещественных корней может быть либо два, если $n$ чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если $n$ нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число, они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если $u_{k}$ — корень из единицы, то сопряжённое к нему число ${\overline {u_{k}}}$ — тоже корень из единицы.

Пусть M — произвольная точка единичной окружности и $n>1.$ Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней $n-$ й степени из единицы равна $2n$ [3].

Алгебраические свойства

Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа.

Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка $n$ . В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единица.

Корни 6-й степени из единицы как степени первого порождающего элемента

Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов $\mathbb {Z} _{n}.$ Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего (первообразного) можно взять любой элемент $u_{k}$ , индекс $k$ которого взаимно прост с $n$ .

Следствия:
- элемент $u_{1}$ всегда является первообразным (его часто называют главным корнем из единицы);
- если $n$ — простое число, то степени любого корня, кроме $\pm 1$ , охватывают всю группу (то есть все корни, кроме $\pm 1$ , являются первообразными);
- число первообразных корней равно $\varphi (n)$ , где $\varphi$ — функция Эйлера.

Если $n>1$ , то для любого первообразного корня из единицы $u$ имеют место формулы:

\sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0

\prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n

Круговые поля

Круговое поле, или поле деления круга степени n — это поле $K_{n}=\mathbb {Q} (u)$ , порождённое присоединением к полю рациональных чисел $\mathbb {Q}$ первообразного корня n-й степени из единицы $u$ . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n-й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел, теории чисел и теории Галуа.

Пример: $K_{3}$ состоит из комплексных чисел вида $a+b{\sqrt {3}}\ i$ , где $a,b$ — рациональные числа.

Теорема Кронекера-Вебера: всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

Обобщения

Корни из единицы n-й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого алгебраического поля $K$ как решения уравнения $x^{n}=1$ , где $1$ — единица поля $K$ . Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля $K$ . Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля $K$ содержит только корни из единицы и является циклической[4].

Если характеристика поля ненулевая, то группа корней из единицы совместно с нулём образует конечное поле.

История

Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс. В своей монографии «Арифметические исследования» (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:

x^{n-1}+x^{n-2}+\dots +x+1=0

Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение, только если n может быть представлено в виде $2^{2^{r}}+1$ . Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби. Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год)[5].

Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры. Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории Галуа[6].

См. также

Литература

Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — С. 188 и далее. — 299 с.
Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9. Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine
Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 15.
Milne, James S. Algebraic Number Theory (неопр.). Course Notes (1998). Архивировано 2 апреля 2012 года.

Ссылки

Комплексные корни n-й степени из единицы и решение уравнений.

Примечания

Бурбаки, 1965, с. 188—189.
Дискретное преобразование Фурье
Дужин С. В., Чеботаревский Б. Д. От орнаментов до дифференциальных уравнений. Популярное введение в теорию групп преобразований. — Минск: Вышейшая школа, 1988. — С. 34. — 253 с. — (Мир занимательной науки). — ISBN 5-339-00101-6.
Математическая энциклопедия, 1982.
Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 87—89, 380.. — 468 с.
Ван дер Варден. Алгебра, 2004, с. 150—155 и далее.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_91db199671f107a2-1] Бурбаки, 1965, с. 188—189.

[2] Дискретное преобразование Фурье

[3] Дужин С. В., Чеботаревский Б. Д. От орнаментов до дифференциальных уравнений. Популярное введение в теорию групп преобразований. — Минск: Вышейшая школа, 1988. — С. 34. — 253 с. — (Мир занимательной науки). — ISBN 5-339-00101-6.

[_19743ec15cfe740a-4] Математическая энциклопедия, 1982.

[5] Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — С. 87—89, 380.. — 468 с.

[_7d4510e71cef6bfc-6] Ван дер Варден. Алгебра, 2004, с. 150—155 и далее.