Обратный элемент

Пусть ${\displaystyle (M,\cdot )}$ — множество ${\displaystyle M,}$ на котором определена бинарная операция, обозначаемая точкой (${\displaystyle \cdot }$), с нейтральным элементом ${\displaystyle e}$. Пусть ${\displaystyle x,y}$ — пара произвольных элементов множества ${\displaystyle M}$. Если справедливо равенство ${\displaystyle x\cdot y=e,}$ то ${\displaystyle y}$ называется правым обратным (или обра́тным спра́ва) к ${\displaystyle x}$.

Аналогичным образом, если выполнено равенство ${\displaystyle y\cdot x=e,}$ то ${\displaystyle y}$ называется левым обратным (обра́тным сле́ва) к ${\displaystyle x.}$

Элемент ${\displaystyle y\in M}$, являющийся обратным к ${\displaystyle x}$ и справа, и слева, то есть такой, что
    ${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=e,}$
называется просто обратным к ${\displaystyle x}$ и обозначается ${\displaystyle x^{-1}}$. Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

• Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация ${\displaystyle (M,+)}$, то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается ${\displaystyle -x}$.
• Вообще говоря, один и тот же элемент ${\displaystyle x\in M}$ может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и левые не обязаны совпадать с правыми.

Пусть операция ${\displaystyle \cdot }$ ассоциативна. Тогда если для элемента ${\displaystyle x\in M}$ определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Следствие: в моноиде у каждого элемента имеется не более одного обратного. Все обратимые элементы моноида образуют группу; эта группа не пуста, так как содержит по крайней мере нейтральный элемент.

• Группа