Моноид

• Всякая группа является моноидом.
• Множество всех отображений произвольного множества ${\displaystyle S}$ в себя является моноидом относительно операции последовательного выполнения (композиции) отображений. Единицей служит тождественное отображение.
• Множество эндоморфизмов любой универсальной алгебры ${\displaystyle A}$ является моноидом относительно операции суперпозиции, единица — тождественный эндоморфизм.
• Любую полугруппу S можно превратить в моноид, просто присоединив элемент e и определив e*s = s = s*e для всех s ∈ S.
• Неотрицательные числа (Натуральные числа и ноль) образуют коммутативный моноид (моноид с коммутативной операцией) как по умножению, так и по сложению.
• Множество всех конечных строк с элементами из алфавита Σ образует моноид, обычно обозначаемый Σ^∗. Операция определяется как конкатенация строк.
• Зафиксируем моноид M. Тогда множество всех функций из фиксированного множества в M образует моноид; единица которого — функция, отображающая всё множество в единицу M, операция определяется поточечно.
• Список с операцией конкатенации и пустым списком как нейтральным элементом.
• Словарь. Нейтральный элемент — пустой словарь. Операция — объединение словарей по ключу, при равенстве ключа для значений должна быть определена операция слияния (замечание: если операция слияния значений некоммутативна, то слияние словарей тоже будет некоммутативно). Например, можно определить операцию слияния как
  • числа складывать
  • строки конкатенировать
  • списки конкатенировать
  • для вложенных словарей проводить операцию рекурсивно

Например, словари

 {"a" => 2, "b" => "cd", "c" => [1, 2], "d" => {"e" => 1}, "f" => 1}
 {"a" => 3, "b" => "e", "c" => [3], "d" => {"e" => 2}, "g" => 1}

могут быть объединены в

 {"a" => 5, "b" => "cde", "c" => [1, 2, 3], "d" => {"e" => 3}, "f" => 1, "g" => 1}

Всякий моноид можно представить как моноид всех эндоморфизмов некоторой универсальной алгебры.

Для любого элемента моноида можно определить нулевую степень как ${\displaystyle a^{0}=e,\forall a}$ Так как моноид является частным случаем полугруппы, то для его элементов определена натуральная степень. Свойства степени ${\displaystyle a^{m+n}=a^{m}a^{n},(a^{m})^{n}=a^{mn}}$ остаются справедливыми для ${\displaystyle \mathbb {N} \cup \{0\}}$.

Можно ввести определение обратимого элемента моноида: x является обратимым, если существует такой элемент y, что xy = yx = e. Если y и z — два элемента с таким свойством, то по ассоциативности y = (zx)y = z(xy) = z, следовательно, обратный элемент определён однозначно[1] (обычно его обозначают x⁻¹). Множество всех обратимых элементов моноида образует группу (возможно, тривиальную).

С другой стороны, не каждый моноид можно вложить в группу. Например, вполне возможно что в моноиде существуют элементы a и b, такие что ab = a и при этом b не является нейтральным элементом. Если бы этот моноид являлся подмножеством некоторой группы, мы могли бы домножить обе части равенства на a⁻¹ слева и получили бы противоречие. Говорят, что моноид M обладает свойством сокращения, если, для любых его элементов, ${\displaystyle ab=ac\Rightarrow b=c}$ и ${\displaystyle ba=ca\Rightarrow b=c}$. Коммутативный моноид со свойством сокращения можно вложить в группу, используя конструкцию группы Гротендика. Это обобщает способ, по которому аддитивную группу целых чисел можно восстановить по аддитивной группе натуральных чисел.

Конечный моноид со свойством сокращения всегда является группой. Действительно, пусть x — произвольный элемент такого моноида. Из принципа Дирихле следует, что xⁿ = x^m для некоторых m > n > 0. Но тогда из свойства сокращения следует, что x^m−n = e, где e — единица. Следовательно, x * x^m−n−1 = x^m−n−1 * x = e, так что x обратим.

Гомоморфизм из моноида M в моноид N — это функция ${\displaystyle f\colon M\to N}$, такая что ${\displaystyle f(xy)=f(x)\cdot f(y)}$ (для любых x и y из M) и ${\displaystyle f(e)=e}$.

Аксиомы моноида совпадают с теми аксиомами, которые накладываются на композицию морфизмов в категории. Отличие состоит в том, что в моноиде определено произведение любых двух элементов, тогда как композиция определена не для любых двух морфизмов. Сказать, что для любых двух морфизмов определена композиция — это то же самое, что сказать «категория состоит из одного объекта», то есть моноиды можно рассматривать как категории из одного объекта.

Аналогично, гомоморфизмы моноидов — это в точности функторы между соответствующими категориями.[2] Эта конструкция задаёт эквивалентность между категорией (малых) моноидов Mon и полной подкатегорией в Cat.

Существует также категорное понятие моноида, обобщающее свойства моноида на произвольную моноидальную категорию. Например, моноид в категории множеств — это обычный моноид, определённый выше, тогда как моноид в категории абелевых групп — ассоциативное кольцо с единицей.

• Алгебраическая система
• Моноидальная категория

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 1 (2nd ed.), Dover — ISBN 978-0-486-47189-1.

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Monoid, Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4