Группа Гротендика

Говоря неформально, группа Гротендика коммутативного моноида — это универсальный способ сделать из моноида абелеву группу, «группифицировать» моноид.

Пусть ${\displaystyle M}$ — коммутативный моноид. Тогда его группа Гротендика ${\displaystyle K}$ должна обладать следующим универсальным свойством: существует гомоморфизм моноидов

${\displaystyle i\colon M\rightarrow K}$

такой, что для любого гомоморфизма моноидов

${\displaystyle f\colon M\rightarrow A}$

в абелеву группу ${\displaystyle A}$ существует единственный гомоморфизм абелевых групп

${\displaystyle g\colon K\rightarrow A}$

такой, что

${\displaystyle f=g\circ i.}$

В терминах теории категорий функтор, переводящий коммутативный моноид ${\displaystyle M}$ в его группу Гротендика ${\displaystyle K}$, является левым сопряжённым функтором забывающего функтора из категории абелевых групп в категорию коммутативных моноидов.

Рассмотрим декартово произведение ${\displaystyle M\times M}$, элементами которого являются пары ${\displaystyle (a,b)}$, где ${\displaystyle a,b\in M}$. По определению, пары ${\displaystyle (a,b)}$ соответствуют разностям ${\displaystyle a-b}$, сложение которых задается формулой

${\displaystyle (a,b)+(a',b')=(a+a',b+b').}$

Определённое таким образом сложение обладает свойствами ассоциативности и коммутативности (вытекающими из аналогичных свойств моноида ${\displaystyle M}$).

Для того, чтобы определить группу Гротендика ${\displaystyle K}$, нужно ввести на множестве ${\displaystyle M\times M}$ отношение эквивалентности, при котором эквивалентными являются элементы ${\displaystyle (a,b)}$ и ${\displaystyle (a',b')}$, для которых выполнено равенство

${\displaystyle a+b'+c=a'+b+c}$

с некоторым элементом ${\displaystyle c\in M}$. Выполнение свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности проверяется тривиально. В силу данного определения, класс эквивалентности элемента ${\displaystyle (a,b)}$ включает в себя элементы ${\displaystyle (a+c,b+c)}$ при всех ${\displaystyle c\in M}$. Этот класс называется формальной разностью элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и обозначается ${\displaystyle a-b}$.

Множество определенных таким образом формальных разностей (классов эквивалентности) с операцией сложения составляет группу Гротендика ${\displaystyle K}$ моноида ${\displaystyle M}$.

Нейтральный (нулевой) элемент группы ${\displaystyle K}$ — это класс эквивалентности, состоящий из пар вида ${\displaystyle (a,a)}$ при всевозможных ${\displaystyle a\in M}$. Элемент, противоположный к элементу ${\displaystyle (a,b)}$, имеет вид ${\displaystyle (b,a)}$ (и в первом, и во втором случае подразумеваются соответствующие классы эквивалентности).

Имеется естественное вложение ${\displaystyle M\to K}$, которое позволяет считать ${\displaystyle K}$ расширением ${\displaystyle M}$. Именно, каждому элементу ${\displaystyle a\in M}$ ставится в соответствие формальная разность ${\displaystyle a-0}$, т.е. класс элементов ${\displaystyle (a+c,c)}$ при всевозможных ${\displaystyle c\in M}$.

Простейший пример группы Гротендика — построение целых чисел по натуральным. Сначала мы проверяем, что натуральные числа с обычным сложением ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+)}$ действительно образуют коммутативный моноид. Теперь, используя конструкцию группы Гротендика, рассмотрим формальные разности натуральных чисел ${\displaystyle n-m}$ с отношением эквивалентности

${\displaystyle n-m\sim n'-m'\leftrightarrow n+m'=n'+m.}$

Теперь определим

${\displaystyle n:=[n-0],}$

${\displaystyle -n:=[0-n]}$

для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Эта конструкция определяет целые числа ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

• Grothendieck group на PlanetMath.
• Michael Atiyah. K-Theory, (Notes taken by D. W. Anderson, Fall 1964), published in 1967, W. A. Benjamin Inc., New York.
• Jonathan Rosenberg. Algebraic K-Theory and Its Applications, Springer Verlag, 1994, ISBN 3-540-94248-3.