Универсальное свойство

Пусть C — категория векторных пространств над полем K и D — категория ассоциативных алгебр над K. Рассмотрим забывающий функтор

U : K-Alg → K-Vect

сопоставляющий каждой алгебре подлежащее векторное пространство.

По произвольному объекту X из K-Vect — векторному пространству V — можно получить его тензорную алгебру T(V). А именно, она характеризуется следующим универсальным свойством:

«Любое линейное отображение из V в K-алгебру A может быть единственным образом продолжено до гомоморфизма алгебр T(V) → A.»

Это утверждение описывает начальное свойство тензорной алгебры, то есть тот факт, что пара (T(V), i), где i : V → T(V) — стандартное вложение, является начальной стрелкой из векторного пространства V в функтор U. Мы получили функтор T из K-Vect в K-Alg Это значит, что T является левым сопряженным функтором забывающего функтора U (см. раздел «связь с сопряжёнными функторами»).

Произведение в теории категорий можно охарактеризовать его универсальным свойством. А именно: пусть X и Y — объекты категории D, а C — произведение категорий D × D. Определим диагональный функтор

Δ : D → D × D

как Δ(X) = (X, X) и Δ(f : X → Y) = (f, f). Тогда если (A, φ) — терминальная стрелка из Δ в (X, Y) — объект категории D × D, то A — объект категории D, называющийся прямым произведением X × Y, а φ — пара проекций

π₁ : X × Y → X

π₂ : X × Y → Y.

Определение некоего свойства не гарантирует существование объекта, ему удовлетворяющего. Если однако, такой (A, φ) существует, то он единственен. Точнее говоря, он единственен с точностью до единственного изоморфизма. Проверим это для случая начальной стрелки: если (A′, φ′) — другая такая пара, то существует единственный изоморфизм k: A → A′ такой что φ′ = U(k)φ. Это легко увидеть, заменив (Y, f) из определения начального свойства на (A′, φ′).

Определение универсальной стрелки может быть перефразировано множеством способов. Пусть U — функтор из D в C, X — объект категории С. Тогда следующие формулировки эквивалентны:

• (A, φ) — начальная стрелка из X в U
• (A, φ) — начальный объект категории запятой (X ↓ U)
• (A, φ) представляет функтор Hom_C(X, U—),

равно как и двойственные им формулировки.

Пусть (A₁, φ₁) — начальная стрелка из X₁ в U и (A₂, φ₂) — начальная стрелка из X₂ в U. По начальному свойству любому морфизму h: X₁ → X₂ соответствует единственный морфизм g: A₁ → A₂, такой что следующая диаграмма коммутативна:

Если каждый объект X_i категории C допускает начальную стрелку в U, то соответствия ${\displaystyle X_{i}\mapsto A_{i}}$ и ${\displaystyle h\mapsto g}$ определяют функтор V из C в D. А отображения φ_i тогда определяют естественное преобразование из 1_C (тождественный функтор C) в UV. Функторы (V, U) образуют пару сопряженных функторов. Аналогичные утверждения верны в двойственной ситуации терминальных морфизмов из U, в этом случае (U, V) будут парой сопряженных функторов.

В действительности все пары сопряженных функторов получаются из конструкций такого вида. Пусть F: С → D и G: D → C — пара сопряжённых функторов с единицей η и коединицей ε (см. статью сопряженные функторы). Тогда существуют универсальные морфизмы для каждого объекта категорий C и D:

• Для каждого объекта X из C, (F(X), η_X) — начальная стрелка из X в G. То есть для всех f: X → G(Y) существует единственный g: F(X) → Y, для которого следующие диаграммы коммутируют.
• Для каждого объекта Y изD, (G(Y), ε_Y) — терминальная стрелка из F в Y. То есть для всех g: F(X) → Y существует единственный f: X → G(Y), для которого следующие диаграммы коммутируют.

Universal properties of a pair of adjoint functors

Универсальные конструкции являются более общими, чем конструкции сопряженных функторов: универсальная конструкция похожа на задачу оптимизации, и пара сопряжённых функторов определена, только если эта задача имеет решение для всех объектов категории.