Копроизведение

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ — категория, ${\displaystyle \{X_{j}|j\in J\}}$ — индексированное семейство её объектов. Копроизведение этого семейства — это объект ${\displaystyle X}$, вместе с морфизмами ${\displaystyle i_{j}\colon \,X_{i}\to X}$, называемыми каноническими вложениями, такой что для любого объекта ${\displaystyle Y}$ категории ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ и семейства морфизмов ${\displaystyle f_{j}\colon \,X_{j}\to Y}$ существует единственный морфизм ${\displaystyle f\colon \,X\to Y}$, такой что ${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}}$, то есть следующая диаграмма коммутативна для каждого ${\displaystyle j}$:

Копроизведение семейства ${\displaystyle \{X_{j}\}}$ обычно обозначают

${\displaystyle X=\coprod _{j\in J}X_{j}}$

или

${\displaystyle X=\bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

Иногда морфизм ${\displaystyle f}$ обозначают

${\displaystyle f=\coprod _{j\in J}f_{j}:\coprod _{j\in J}X_{j}\to Y}$

чтобы подчеркнуть его зависимость от ${\displaystyle f_{j}}$.

Копроизведение двух объектов обычно обозначают ${\displaystyle X_{1}\coprod X_{2}}$ или ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2}}$, тогда диаграмма принимает вид

Соответственно, ${\displaystyle f}$ обозначают при этом ${\displaystyle f_{1}\coprod f_{2}}$, ${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2}}$ или ${\displaystyle [f_{1},f_{2}]}$.

Единственность результата операции ${\displaystyle [-,-]}$ можно альтернативно выразить как равенство ${\displaystyle [h\circ i_{1},h\circ i_{2}]=h}$, верное для любых ${\displaystyle h}$.[1]

Существует эквивалентное определение копроизведения. Копроизведение семейства ${\displaystyle \{X_{j}|j\in J\}}$ — это такой объект ${\displaystyle X}$, что для любого объекта ${\displaystyle Y\in C}$ функция ${\displaystyle {\text{Hom}}(X,Y)\rightarrow \prod _{j\in J}{\text{Hom}}(X_{j},Y)}$, заданная как ${\displaystyle u\mapsto \{u\circ i_{j}\}}$, биективна.[2]

• В категории множеств копроизведение семейства множеств — это их дизъюнктное объединение, канонические отображения ${\displaystyle i_{j}}$ — это очевидные вложения. Универсальное свойство в данном случае можно переговорить таким образом: для того, чтобы задать функцию на дизъюнктном объединении, достаточно (и необходимо) задать функцию на каждой из его компонент.
• В категориях векторных пространств, модулей и абелевых групп копроизведение называется прямой суммой.
• В категории всех групп копроизведение — это свободное произведение.
• В категории топологических пространств копроизведение — это дизъюнктное объединение множеств-носителей исходных пространств, а база топологии получается объединением (точнее, образами при канонических вложениях) исходных баз.

• Если сумма объектов существует, то она единственна с точностью до изоморфизма.
• Коммутативность: ${\displaystyle a+b\simeq b+a.}$
• Ассоциативность: ${\displaystyle (a+b)+c\simeq a+(b+c)}$
• Если в категории существует начальный объект ${\displaystyle \ 0}$, то ${\displaystyle a+0\simeq 0+a\simeq a.}$
• Категория, в которой существуют копроизведения любого множества объектов — пример симметричной моноидальной категории.

В общем случае существует канонический морфизм ${\displaystyle X\times Y+X\times Z\to X\times (Y+Z)}$, где плюс обозначает копроизведение объектов. Это следует из существования канонических проекций и вложений и из коммутативности следующей диаграммы:

Универсальное свойство ${\displaystyle X\times (Y+Z)}$ гарантирует при этом существование искомого морфизма. Категория называется дистрибутивной, если в ней этот морфизм является изоморфизмом.

• Матрица преобразований — категорный аналог матрицы линейного преобразования.
• Пределы и копределы

• Маклейн С. Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].