Симметричная моноидальная категория

Симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой для любых двух объектов выбран изоморфизм ${\displaystyle \gamma _{A,B}:A\otimes B\rightarrow B\otimes A}$, причём ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}=Id}$, а также коммутирует следующая шестиугольная диаграмма:

• Любая декартово замкнутая категория является симметричной замкнутой моноидальной. Это даёт такие примеры, как Set и Cat (категория множеств и категория малых категорий).
• Векторные пространства над фиксированным полем k с тензорным произведением образуют моноидальную категорию. Отображение ${\displaystyle V\otimes W\to W\otimes V}$, определенное на разложимых элементах вида ${\displaystyle v\otimes w}$ и продолженное по линейности, очевидным образом задаёт на ней структуру симметричной моноидальной категории.

Моноидальная категория с заузливанием — это обобщение симметричной моноидальной категории; для неё уже не требуется, что ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$. Однако вместо коммутативности одной шестиугольной диаграммы приходится требовать коммутативность двух:

В симметричном случае обе эти диаграммы также коммутируют, но коммутативность одной из них следует из коммутативности другой и свойства ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}={\text{Id}}}$.

Название «моноидальная категория с заузливанием» (англ. braided monoidal category) произошло от группы кос (англ. braid group). Действительно, эти понятия глубоко связаны между собой. Для моноидальной категории с заузливанием, так же как и для обычной моноидальной категории, верна теорема о когерентности, утверждающая, что любая диаграмма, на стрелках которой написаны композиции ${\displaystyle \gamma ,\alpha ,\lambda ,\rho ,e,\otimes ,{\text{Id}}}$ и обратных к ним, коммутативна. Более точно, она утверждает, что в моноидальной категории с заузливанием B любые два естественно изоморфных функтора из Bⁿ в B, построенные из применений ${\displaystyle \otimes }$ к аргументам и скобок, естественно изоморфны единственным, каноническим образом. Каждой стрелке, на которой написано преобразование, составленное из указанных выше символов, можно сопоставить элемент группы кос (например, преобразованию ${\displaystyle \gamma }$ сопоставляется «перекрутка» двух нитей, легко видеть, что ${\displaystyle \gamma _{B,A}\circ \gamma _{A,B}\neq {\text{Id}}}$). Оказывается, что два таких функтора естественно изоморфны, если им соответствует один и тот же элемент группы кос.

Моноидальный функтор F между симметричными моноидальными категориями C и D называется симметричным, если соответствующее ему естественное преобразование ${\displaystyle \phi }$ коммутирует с ${\displaystyle \lambda }$, то есть для любых A, B категории C коммутирует следующая диаграмма:

Моноидальное естественное преобразование между моноидальными функторами ${\displaystyle (F,\Phi ,\phi )}$ и ${\displaystyle (G,\Gamma ,\gamma )}$ между моноидальными категориями: ${\displaystyle C\to D}$ — это естественное преобразование ${\displaystyle \alpha :C\to D}$, такое что коммутируют следующие две диаграммы:

Для симметричных моноидальных естественных преобразований не требуется дополнительных условий, кроме того, что они действуют между симметричными моноидальными функторами.

C и D — симметрично моноидально эквивалентные категории, если существуют симметричные моноидальные функторы ${\displaystyle F:C\to D}$, ${\displaystyle G:D\to C}$ и симметричные моноидальные естественные изоморфизмы ${\displaystyle FG\Leftarrow 1_{C}}$ и ${\displaystyle GF\Leftarrow 1_{D}}$.

Маклейн доказал теорему о том, что любая симметричная моноидальная категория моноидально (симметрично) эквивалентна строгой моноидальной (и симметричной) категории.

Также как определяется 2-категория малых категорий, можно определить 2-категории малых моноидальных категорий и малых симметричных моноидальных категорий, с соответствующими функторами и естественными преобразованиями.

• Kelly,G.M. «Basic Concepts of Enriched Category Theory», London Mathematical Society Lecture Note Series No.64 (C.U.P., 1982)
• Joyal, André; Street, Ross (1993). «Braided Tensor Categories». Advances in Mathematics 102, 20-78.
• John C. Baez, Some De�nitions Everyone Should Know
• Симметричные моноидальные категории на nLab