Группа кос

Группа кос — группа, абстрактно описывающая плетение кос. Подобным образом теория узлов связана с узлами.

Группа кос на n нитях обычно обозначается Bn.

История

Группа кос была впервые явно описана Эмилем Артином в 1925 году.[1]

Интуитивное описание

Рассмотрим случай n = 4, из этого примера легко будет понять, что представляет собой произвольная группа кос. Рассмотрим две параллельные прямые (на рисунке они расположены вертикально), на каждой из которых лежит по четыре пронумерованные точки, так что точки с одинаковыми номерами находятся друг против друга. Разобьём точки на пары и с помощью нитей соединим их. Если изобразить получившуюся картинку в плоскости, некоторые нити могут проходить друг под другом (можно считать, что нити всегда пересекаются трансверсально). При этом важно учитывать порядок следования нитей в точке пересечения:

     отличается от  

С другой стороны, две такие конфигурации, которые можно сделать одинаковыми перемещением нитей, не затрагивающим конечные точки, мы будем считать одинаковыми:

     не отличается от  

Все нити должны быть направлены слева направо, то есть каждая из нитей может пересекать вертикальную прямую (параллельную прямым с пронумерованными точками) не более чем в одной точке:

      не является косой.

Для двух кос можно рассмотреть их композицию, нарисовав вторую рядом с первой, то есть склеив соответствующие четыре концевые точки:

     ×      =   

Группа B4 — это фактор множества всех таких конфигураций на четырёх парах точек по отношению эквивалентности, заданному непрерывными преобразованиями плоскости, на котором указанным выше способом задана групповая операция. Данная операция удовлетворяет всем аксиомам группы; в частности, нейтральный элемент — класс эквивалентности четырёх параллельных нитей и для каждого элемента обратный к нему можно получить симметрией относительно вертикальной прямой.

Определения

Строго формализовать данное выше описание можно несколькими способами:

  • Геометрический способ использует понятие гомотопии, а именно, Bn определяется как фундаментальная группа пространства n-точечных подмножеств на плоскости с естественной топологией.
  • Также можно дать чисто алгебраическое описание, задав образующие и соотношения.
    • Например, Bn можно задать (n − 1) образующими и соотношениями:

В частности, любой элемент B4 можно записать как композицию следующих трёх элементов (и обратных к ним):

        
  σ1
  σ2
  σ3

Чтобы понять, почему это интуитивно очевидно, «просканируем» картинку, перемещая вертикальную прямую слева направо. Всякий раз, когда i-я сверху (на данной прямой) нить проходит под (i + 1)-й, будем писать σi, а если над (i + 1)-й, то σi−1.

Очевидно, что выполняется соотношение σ1σ3 = σ3σ1, тогда как чуть более трудно увидеть, что σ1σ2σ1 = σ2σ1σ2 (убедиться в этом проще всего, нарисовав линии на листке бумаги).

Можно доказать, что все соотношения между элементами группы кос следуют из соотношений такого вида.

Свойства

  • Группа B1 тривиальна, B2 бесконечна (как и все последующие группы кос) и изоморфна Z, B3 изоморфна группе узла трилистника.
  • Все элементы Bn, кроме нейтрального, имеют бесконечный порядок; то есть Bn не имеет кручения.
  • Существует сюръективный гомоморфизм BnSn из группы кос в группу перестановок. Действительно, каждому элементу группы Bn можно сопоставить перестановку множества n вершин, при которой левому концу каждой «нити» сопоставляется правый её конец.
    • Ядро этого гомоморфизма называется группой крашеных кос, она обычно обозначается .
    • Для групп крашеных кос существует короткая точная последовательность
    где обозначает свободную группу с образующей.

Литература

Примечания

  1. Artin E. Theorie der Zopfe, Abh. Math. Sem. Hamburg Univ. 4(1925), 47-72.

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.