Группа классов преобразований поверхности

Группа классов преобразований поверхности — это группа гомеоморфизмов с точностью до непрерывной деформации. Она естественно возникает при изучении трёхмерных многообразий и связана с другими группами, в частности с группами кос и группой внешних автоморфизмов группы.

Группа классов отображений может быть определена для произвольных многообразий и для произвольных топологических пространств, но случай поверхностей является наиболее изученным в теории групп.

История

Начало изучению групп классов отображений было положено Максом Деном и Якобом Нильсеном. Ден построил конечную систему образующих этой группы,[1] а Нильсен доказал, что все автоморфизмы фундаментальных групп поверхностей инициируются гомеоморфизмами.

В середине семидесятых Уильям Тёрстон использовал эту группу при изучении трёхмерных многообразий.[2]

Позднее группа классов стала изучаться в геометрической теории групп, где она служит полигоном для различных гипотез и разработке технических инструментов.

Определение

Пусть есть связная, замкнутая, ориентируемая поверхность, и есть группа её гомеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, снабжённая компактно-открытой топологией.

Связная компонента единицы в   обозначается . Она состоит из гомеоморфизмов , изотопных тождественному гомеоморфизму. Подгруппа   является нормальной подгруппой .

Группа классов преобразований поверхности отображений определяется как факторгруппа

Замечания

  • Если в этом определении использовать все гомеоморфизмы (не только сохраняющие ориентацию), получаем расширенную группу классов преобразований , в которой группа содержится как подгруппа индекса 2.
  • Это определение также может быть дано для категории диффеоморфизмов. Точнее, если слово «гомеоморфизм» заменить везде на «диффеоморфизм», мы получаем ту же группу, поскольку включение индуцирует изоморфизм соответствующими классами.
  • В случае, когда — компактная поверхность с краем , в определении берутся только гомеоморфизмы, фиксирующие все точки на краю.
  • Для поверхностей с выколотыми точками группа определяется точно так же, как указано выше.
    • Обратите внимание, что отображению классов разрешается переставлять выколотые точки, но не компоненты края.

Примеры

  • Группа классов преобразований сферы — тривиальна.
  • Группа классов отображений тора естественно изоморфна модулярной группе .
  • Группа классов отображений кольца является циклической группой, образованной одним скручиванием Дена.
  • Группа кос с n нитями естественным образом изоморфна группе классов преобразований диска n выколотыми точками.

Свойства

  • Группа классов преобразований поверхности счётная.
  • Расширенная группа классов преобразований поверхности без края изоморфна группе автоморфизмов её фундаментальной группы.
    • Более того, любой автоморфизм фундаментальной группы индуцируется некоторым гомеоморфизмом поверхности.
    • Вообще говоря, утверждение перестаёт быть верным для поверхностей с краем. В этом случае фундаментальная группа является свободной группой, и группа внешних автоморфизмов группы включает группу классов преобразований поверхности как собственную подгруппу.
  • Для компактной поверхности и существует точная последовательность
  • Любой элемент группы классов преобразований поверхности попадает в одну из трёх категорий:
    • имеет конечный порядок (то есть для некоторого );
    • приводим, то есть существует набор непересекающихся замкнутых кривых на , сохраняющихся под действием ;
    • псевдо-Аносов.
  • Группа классов преобразований поверхности может быть порождена
    • Двумя элементами[3]
    • Инволюциями[4]
    • Существует конечное задание с скручиваниями Дена как образующими.
      • Наименьшее число скручиваний Дена, образующих группу классов преобразований поверхности рода , равно .
  • Группа классов преобразований поверхности естественно действует на её пространстве Тейхмюллера.
    • Это действие собственно разрывное, не свободно.
    • Метрики на пространстве Тейхмюллера могут быть использованы для установления некоторых глобальных свойств группы классов преобразований. Например из этого следует, что максимальная квази-изометрически вложенная плоскость в группу классов преобразований поверхности рода имеют размерность .[5]
  • Группа классов преобразований поверхности естественно действует на комплексе кривых поверхности. Это действие, вместе с комбинаторно-геометрическими свойствами комплекса кривых, может быть использовано для доказательства различных свойств группы классов преобразований.
  • Первые гомологии группы классов преобразований поверхности конечны.
    • Из этого следует, что первые группы когомологий также конечны.
  • Группа классов преобразований поверхности имеет только конечное число классов сопряжённости.
  • Неизвестно, является ли группа классов преобразований поверхности линейной группой. Кроме симплектических представлений на гомологиях, известны и другие линейные представления, вытекающие из топологической квантовой теории поля. Образы этих представлений содержатся в арифметических группах, которые не являются симплектическими[6].
  • Размерность нетривиального действия группы классов преобразований поверхности рода не может быть меньше [7].

Примечания

  1. Dehn, Max. Die Gruppe de Abbildungsklassen (неопр.) // Acta Mathematica. — 1938. Т. 69. С. 135—206. doi:10.1007/bf02547712.
  2. Thurston, William P. On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1988. Vol. 19. P. 417—431. doi:10.1090/s0273-0979-1988-15685-6.
  3. Wajnryb, B. Mapping class group of a surface is generated by two elements (англ.) // Topology : journal. — 1996. Vol. 35. P. 377—383. doi:10.1016/0040-9383(95)00037-2.
  4. Tara E. Brendle, Benson Farb. Every mapping class group is generated by 3 torsion elements and by 6 involutions (англ.) // J. Algebra : journal. — 2004. Vol. 278. MR: 187C198
  5. Alex Eskin, Howard Masur, Kasra Rafi (2014), Large scale rank of Teichmüller space, arΧiv:1307.3733 [math.GT] .
  6. Masbaum, Gregor and Reid, Alan W. All finite groups are involved in the mapping class group (англ.) // Geom. Topol. : journal. — 2012. Vol. 16. P. 1393—1411. doi:10.2140/gt.2012.16.1393. MR: 2967055
  7. Benson Farb, Alexander Lubotzky, Yair Minsky. Rank-1 phenomena for mapping class groups (неопр.) // Duke Math. J.. — 2001. Т. 106. С. 581—597. MR: 1813237

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.