Действие группы

Действие группы на некотором множестве объектов позволяет изучать симметрии этих объектов с помощью аппарата теории групп.

Вращения вокруг центра равностороннего треугольника на углы, кратные 120°, действуют на множестве вершин этого треугольника, циклически переставляя их.

Определения

Действие слева

Говорят, что группа $G$ действует слева на множестве $M$ , если задан гомоморфизм $\Phi \colon G\to S(M)$ из группы $G$ в симметрическую группу $S(M)$ множества $M$ . Для краткости $(\Phi (g))(m)$ часто записывают как $gm$ , $g\cdot m$ или $g{.}m$ . Элементы группы $G$ называются в этом случае преобразованиями, а сама группа $G$ — группой преобразований множества $M$ .

Другими словами, группа $G$ действует слева на множестве $M$ , если задано отображение $G\times M\to M$ , обозначаемое $(g,m)=gm$ , такое, что

$(gh)m=g(hm)$ для всех $g,\;h\in G$ , $m\in M$ и
$em=m$ , где $e$ — нейтральный элемент группы $G$ . Можно сказать, что единица группы соотносит каждому элементу $M$ его же; такое преобразование называется тождественным.

Действие справа

Аналогично, правое действие группы $G$ на $M$ задаётся гомоморфизмом $\rho :G^{op}\to S(M)$ , где $G^{op}$ — инверсная группа группы $G$ . При этом часто используют сокращенное обозначение: $\rho (g)(m)=:mg$ . При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:

$m(gh)=(mg)h,$
$me=m.$

Любое правое действие группы $G$ — это левое действие $G^{op}$ . Также, так как каждая группа изоморфна своей инверсной группе (изоморфизмом является, например, отображение $g\mapsto g^{-1}$ ), то из каждого правого действия можно с помощью такого изоморфизма получить левое действие. Поэтому, как правило, исследуются только левые действия.
Если множество $M$ $\text{[math]}$ снабжено какой-то дополнительной структурой, то обычно предполагается, что отображение $m\mapsto gm$ $\text{[math]}$ сохраняет эту структуру.
- Например, если $M$ — топологическое пространство, то $m\mapsto gm$ предполагается непрерывным (а значит, гомеоморфизмом). Такое действие группы более точно называется непрерывным действием.

Типы действий

Свободное, если для любых различных $g,\;h\in G$ и любого $m\in M$ выполняется $gm\neq hm$ .
Транзитивное, если для любых $m,\;n\in M$ существует $g\in G$ такой, что $gm=n$ . Другими словами, действие транзитивно, если $Gm=M$ для любого элемента $m\in M$ .
Эффективное, если для любых двух элементов $g\neq h$ в $G$ существует $m\in M$ такой, что $gm\neq hm$ .
Вполне разрывное, если для любого компактного множества $K$ множество всех $g\in G$ , для которых пересечение $K\cap gK$ непусто, конечно.

На топологических пространствах и гладких многообразиях также особо рассматривают действия групп, наделённых соответствующими дополнительными структурами: топологических групп и групп Ли. Действие $\rho :G\to \mathrm {X}$ топологической группы на топологическом пространстве называют непрерывным, если оно непрерывно как отображение между топологическими пространствами. Аналогично определяется гладкое действие группы Ли на гладком многообразии.

Непрерывное действие группы на пространстве жёстко (или квазианалитично), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
- Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.
Непрерывное действие группы называется кокомпактным, если факторпространство по этому действию компактен.

Орбиты

Подмножество

Gm=\{gm\mid g\in G\}\subset M

называется орбитой элемента $m\in M$ (иногда обозначается как $\mathrm {Orb} (m)$ ).

Действие группы $G$ на множестве $M$ определяет на нём отношение эквивалентности

\forall n,\;m\in M\;(n\,\sim _{_{G}}\,m)\Longleftrightarrow (\exists g\in G\;:\;gn=m)\Longleftrightarrow (Gn=Gm).

При этом классами эквивалентности являются орбиты элементов. Поэтому если общее число классов эквивалентности равно $k$ , то

M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k},

где $m_{1},\;m_{2},\;\ldots ,\;m_{k}\in M$ попарно неэквивалентны. Для транзитивного действия $k=1$ .

Стабилизаторы

Подмножество

G_{m}=\{g\in G\mid gm=m\}\subset G

является подгруппой группы $G$ и называется стабилизатором, или стационарной подгруппой элемента $m\in M$ (иногда обозначается как $\mathrm {Stab} (m)$ ).

Стабилизаторы элементов одной орбиты сопряжены, то есть если $n\,\sim _{_{G}}\,m$ , то найдется такой элемент $g\in G$ , что

G_{m}=gG_{n}g^{-1}.

Количество элементов в орбите

|Gm|=[G:G_{m}]

,

G_{m}

— стабилизатор элемента

m

и

[G:G_{m}]

— индекс подгруппы

G_{m}\subset G

, в случае конечных групп равен

{\frac {|G|}{|G_{m}|}}

.

Если $M=Gm_{1}\sqcup Gm_{2}\sqcup \ldots \sqcup Gm_{k}$ , то

|M|=\sum _{t=1}^{k}[G:G_{m_{t}}]

— формула разложения на орбиты.

Эта формула также влечёт следующие тождества:

$\forall m\in M\;\sum _{n\in Gm}|G_{n}|=|G|;$
$\sum _{m\in M}|G_{m}|=k|G|;$
лемма Бёрнсайда.

Примеры действий

Слева

Действие на себе слева является наиболее простым примером действия. В этом случае $M=G$ , и гомоморфизм $\Phi :G\to S(G)$ задан как $(\Phi (g))(h)=gh$ .

Справа

Аналогично определяется действие на себе справа: $(\Phi (g))(h)=hg^{-1}$ .

Слева и справа

Эти два действия являются действиями подгрупп прямого произведения $G\times G$ на $M=G$ с гомоморфизмом $\Phi :G\times G\to S(G)$ , заданным как $(\Phi (g_{1},\;g_{2}))(h)=g_{1}hg_{2}^{-1}$ .

Сопряжениями

Пусть $M=G$ , и гомоморфизм $\Phi :G\to S(G)$ задан как $(\Phi (g))(h)=ghg^{-1}$ . При этом для каждого элемента $h\in G$ стабилизатор $G_{h}$ совпадает с централизатором $C(h)$ :

G_{h}=\{g\in G\mid ghg^{-1}=h\}=\{g\in G\mid gh=hg\}=C(h).

Например, для элемента $h$ из центра группы $G$ (то есть $h\in Z(G)$ ) имеем $C(h)=G$ и $G_{h}=G$ .

Вариации и обобщения

Псевдогруппа преобразований

См. также

Представление группы

Литература

Винберг, Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-0607..
Кострикин, А. И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6..

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.