Лемма Бёрнсайда

Пусть ${\displaystyle G}$ — конечная группа, действующая на множестве ${\displaystyle X}$. Тогда число орбит действия равно среднему количеству точек, фиксированных точек в ${\displaystyle X}$ элементами ${\displaystyle G}$.

Точнее, для любого элемента ${\displaystyle g}$ из ${\displaystyle G}$ будем обозначать через ${\displaystyle X^{g}}$ множество элементов ${\displaystyle X}$, оставляемых на месте ${\displaystyle g}$, то есть

${\displaystyle X^{g}=\{\,x\in X\mid g\cdot x=x\,\}.}$

Тогда (натуральное число или бесконечность)

${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,}$

здесь ${\displaystyle |X/G|}$ обозначает число орбит действия.

Число орбит равно ${\displaystyle \sum _{m\in X}{\frac {1}{|Orb(m)|}}}$ , но по формуле орбит ${\displaystyle |Orb(m)|=[G:G_{m}]={\frac {|G|}{|G_{m}|}}}$ ,где ${\displaystyle G_{m}}$ означает стабилизатор элемента ${\displaystyle m}$, значит сумма равна ${\displaystyle {\frac {1}{|G|}}\sum _{m\in X}|G_{m}|}$ . Выпишем в столбик все элементы ${\displaystyle X}$ и напишем рядом с каждым ${\displaystyle m}$ те элементы ${\displaystyle G}$ , которые оставляют данный элемент неподвижным . Тогда произвольный элемент ${\displaystyle g}$ группы ${\displaystyle G}$ встретится такое же число раз , какое он оставляет элементы ${\displaystyle X}$ неподвижными , то есть в точности ${\displaystyle |X^{g}|}$ раз , а потому сумма ${\displaystyle \sum _{m\in X}|G_{m}|}$ равна сумме ${\displaystyle \sum _{g\in G}|X^{g}|}$ , что и утверждалось .

• Если действие конечной группы ${\displaystyle G}$ на множестве ${\displaystyle X}$ транзитивно, то

${\displaystyle \sum _{g\in G}|X^{g}|=|G|.}$

Уильям Бёрнсайд сформулировал и доказал эту лемму (без указания авторства) в одной из своих книг (1897 год), но историки математики обнаружили, что он не был первым, кто открыл её. Коши в 1845 году и Фробениусу в 1887 году также была известна эта формула. По-видимому, лемма была столь хорошо известна, что Бёрнсайд просто опустил указание авторства Коши. Поэтому эта лемма иногда называется леммой не Бёрнсайда. Это название не столь туманно, как кажется: работа Бёрнсайда была столь плодотворной, что большинство лемм в этой области принадлежит ему.

• Burnside, William. Theory of groups of finite order. — Cambridge University Press, 1897.
• Burnside, William (1897) Theory of Groups of Finite Order, Cambridge University Press, at Project Gutenberg and here at Archive.org. (Это первое издание; введение ко второму изданию содержит известный крутой поворот Бёрнсайда в отношении полезности теорий представлений.)
• Frobenius, Ferdinand Georg (1887), Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle Т. CI: 288.
• Neumann, Peter M. (1979), A lemma that is not Burnside's, The Mathematical Scientist Т. 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685.
• Rotman, Joseph (1995), An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8.

• Р. Борчердс, Group theory 10: Burnside's lemma на YouTube