Представление группы

Пусть ${\displaystyle G}$ — заданная группа и ${\displaystyle W}$ — векторное пространство. Тогда представление группы ${\displaystyle G}$ — это отображение ${\displaystyle A}$, ставящее в соответствие каждому элементу ${\displaystyle g\in G}$ невырожденное линейное преобразование ${\displaystyle A_{g}:W\to W}$, причём выполняются свойства

${\displaystyle A_{gh}=A_{g}\,A_{h},\ \,A_{g^{-1}}=A_{g}^{-1}\quad (\forall g,h\in G).}$

Векторное пространство ${\displaystyle W}$ называется в этом случае пространством представления ${\displaystyle A}$. Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры, зачастую допускающим решение вычислительного характера. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ и знакопеременной группы ${\displaystyle A_{n}}$ играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь группы Лоренца).

• Пусть ${\displaystyle A\colon G\to \operatorname {Aut} (W)}$ есть представление группы ${\displaystyle G}$, здесь ${\displaystyle \operatorname {Aut} (W)}$ — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства ${\displaystyle W}$. Размерностью представления ${\displaystyle A}$ называется размерность векторного пространства ${\displaystyle (\dim W).}$

• Представления ${\displaystyle A:G\to \operatorname {Aut} (W)}$ и ${\displaystyle A'\colon G\to \operatorname {Aut} (W')}$ одной и той же группы ${\displaystyle G}$ называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм ${\displaystyle C:W'\to W}$ векторных пространств, что ${\displaystyle A'_{g}=C^{-1}A_{g}C\ (\forall g\in G).}$ Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.

• Представление ${\displaystyle A:G\to \operatorname {Aut} (W)}$ называется прямой суммой представлений ${\displaystyle A^{(i)}:G\to \operatorname {Aut} (W_{i}),\ i=1,\ldots ,n,}$ если ${\displaystyle W=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{n}}$ (здесь знак ${\displaystyle \oplus }$ означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого ${\displaystyle g\in G}$ подпространство ${\displaystyle W_{i}\subset W}$ инвариантно относительно преобразования ${\displaystyle A_{g}:W\to W}$ и индуцированное ограничением ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle W_{i}}$ представление ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (W_{i})}$ эквивалентно ${\displaystyle A^{(i)}.}$

• Для данного представления ${\displaystyle A\colon G\to \operatorname {Aut} (W)}$ отображение ${\displaystyle \chi _{A}\colon g\to \mathrm {tr} A(g)}$ называется характером ${\displaystyle A}$; здесь ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ обозначает след.

• Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.

• Представление группы ${\displaystyle G}$ называется приводимым, если в векторном пространстве ${\displaystyle W}$ есть подпространство, отличное от нулевого и самого ${\displaystyle W}$, инвариантное для всех преобразований ${\displaystyle A_{g}:W\to W(\forall g\in G)}$. В противном случае представление называется неприводимым, или простым (при этом представление на пространстве ${\displaystyle W=\{0\}}$ не считается неприводимым). Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.

• Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.

• Представление называется регулярным, если ${\displaystyle W}$ — пространство функций на группе ${\displaystyle G}$ и линейное преобразование ${\displaystyle A_{g}:W\to W}$ ставит в соответствие каждой функции ${\displaystyle f(\omega ),\ \omega \in G,}$ функцию ${\displaystyle f(g\omega ),\ \omega \in G}$. Иными словами, регулярным называется естественное представление на групповом кольце группы.

• Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве ${\displaystyle W}$ над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$, если все преобразования ${\displaystyle A_{g}:W\to W(\forall g\in G)}$ являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве ${\displaystyle W}$ (над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы ${\displaystyle G}$ унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве ${\displaystyle W}$ произвольное эрмитово скалярное произведение ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$ и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой ${\displaystyle (x,y)=\sum _{g\in G}\langle A_{g}(x),A_{g}(y)\rangle .}$

• Если ${\displaystyle G}$ ― топологическая группа, то под представлением группы ${\displaystyle G}$ обычно понимается непрерывное линейное представление ${\displaystyle A}$ группы ${\displaystyle G}$ в топологическом векторном пространстве ${\displaystyle W}$. Это значит, что непрерывно отображение из ${\displaystyle G\times W}$ в ${\displaystyle W}$, заданное как ${\displaystyle (g,v)\mapsto A_{g}v}$[1].

• Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
• Представление симметрической группы ${\displaystyle S_{n}}$ может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве ${\displaystyle W}$ размерности ${\displaystyle n}$ базис ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$. Для каждой перестановки ${\displaystyle g\in S_{n}:\ (1,\ldots ,n)\mapsto (i_{1},\ldots ,i_{n})}$ определим линейное преобразование ${\displaystyle A_{g}:W\to W,}$ переводящее базисный вектор ${\displaystyle e_{k}}$ в базисный вектор ${\displaystyle e_{i_{k}},}$ где ${\displaystyle k=1,\ldots ,n.}$ Таким образом получается ${\displaystyle n}$-мерное представление группы ${\displaystyle S_{n}.}$
• Неприводимое двумерное представление группы ${\displaystyle S_{3}}$ можно получить, выбрав в плоскости ${\displaystyle W}$ базис ${\displaystyle e_{1},e_{2},}$ положив вектор ${\displaystyle e_{3}=-(e_{1}+e_{2})}$ и определив для каждой перестановки ${\displaystyle g\in S_{3}:\ (1,2,3)\mapsto (i_{1},i_{2},i_{3})}$ линейное преобразование ${\displaystyle A_{g}:W\to W}$, переводящее ${\displaystyle e_{1}}$ в ${\displaystyle e_{i_{1}}}$ и ${\displaystyle e_{2}}$ в ${\displaystyle e_{i_{2}}.}$
• Присоединённое представление — представление группы Ли, действующее на соответствующей алгебре Ли.
• Коприсоединённое представление — представление, сопряжённое к присоединённому.

В более широком смысле под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества ${\displaystyle X}$. Например:

• Проективное представление группы — гомоморфизм группы в группу проективных преобразований проективного пространства.

• Характер представления группы

• Березин Ф. А., Гельфанд И. М., Граев М. И., Наймарк М. А. Представления групп // УМН. — 1956. Т. 11. — Вып. 6 (72). — С. 13–40.
• Винберг Э. Б. Линейные представления групп. — М.: Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
• Наймарк М. А. Теория представлений групп. — М.: Наука, 1976.
• Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1970.
• Шейнман О. К. Основы теории представлений. — М.: Изд-во МЦНМО, 2004.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.

• Р. Борчердс, Плейлист «Representation theory» на YouTube