След матрицы

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если $a_{ij}$ элементы матрицы $A$ , то её след $\mathop {\rm {tr}} \;A=\sum _{i}a_{ii}$ . Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree)[1].

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: $\mathop {\rm {tr}} \;A$ (от англ. trace — след), и $\mathop {\rm {Sp}} \;A$ (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга (один раз ковариантного и один раз контравариантного) называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: ${\rm {tr}}A=I_{1}(A)=g\cdot \cdot A$ .

Определение

Под следом квадратной матрицы $A$ размера $n\times n$ понимают:

$\mathrm {tr} \;A=\sum _{i=1}^{n}a_{i,i}=a_{1,1}+a_{2,2}+\cdots +a_{n,n},$

где $a_{i,i}$ — элементы главной диагонали:

$\mathrm {tr} \;{\begin{pmatrix}\color {red}{a_{1,1}}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &\color {red}{\ddots }&\vdots \\a_{n,1}&\cdots &\color {red}{a_{n,n}}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}\color {red}{a_{i,i}}$ .

Свойства

Линейность $\mathop {\rm {tr}} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathop {\rm {tr}} \;A+\beta \mathop {\rm {tr}} \;B$ .
$\mathop {\rm {tr}} \;(AB)=\mathop {\rm {tr}} \;(BA)$ .
Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: $\mathop {\rm {tr}} \;(C^{-1}AC)=\mathop {\rm {tr}} \;A$ .
$\mathop {\rm {tr}} \;A=\mathop {\rm {tr}} \;A^{\mathrm {T} }$ , где $\mathrm {T}$ означает операцию транспонирования.
$\ln \det A=\mathop {\rm {tr}} \;\ln A$ .
Если $A\otimes B$ тензорное произведение матриц A и B, то $\mathop {\rm {tr}} \;A\otimes B=(\mathop {\rm {tr}} \;A)(\mathop {\rm {tr}} \;B)$ .
След матрицы равен сумме её собственных значений.
Определитель квадратной матрицы $n\times n$ можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие $n$ . Например $\det A_{3\times 3}={\frac {1}{6}}\left((\mathop {\rm {tr}} A)^{3}-3\mathop {\rm {tr}} A\cdot \mathop {\rm {tr}} A^{2}+2\mathop {\rm {tr}} A^{3}\right)$ .

Геометрическое свойство

$\mathop {\rm {det}} (E+G\varepsilon )=1+\mathop {\rm {tr}} G\ \varepsilon \ +o(\varepsilon )$ ,

где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.

Следствия:
- $\mathop {\rm {det}} \ \mathop {\rm {exp}} (G\alpha )=1+\mathop {\rm {tr}} G\ \alpha \$ для малых α
- Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. также

След (теория полей)

Примечания

Лисовский, Фёдор Викторович. Новый англо-русский словарь по электронике: в двух томах, около 100000 терминов и 7000 сокращений. — Москва: ABBYY Press, 2009. — 2 volumes с. — ISBN 9785391000051, 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.

Ссылки

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Trace of a square matrix, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Лисовский, Фёдор Викторович. Новый англо-русский словарь по электронике: в двух томах, около 100000 терминов и 7000 сокращений. — Москва: ABBYY Press, 2009. — 2 volumes с. — ISBN 9785391000051, 539100005X, 9785391000068, 5391000068, 9785391000075, 5391000076.