Поле (алгебра)

В рамках понятия о поле неявно работал ещё Галуа в 1830 году, с использованием идеи алгебраического расширения поля ему удалось найти необходимое и достаточное условие того, чтобы уравнение от одной переменной можно было решить в радикалах. Позднее при помощи теории Галуа была доказана невозможность решения таких классических задач, как квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.

Явное определение понятия поля относят к Дедекинду (1871 год), который использовал немецкий термин Körper (тело). Термин «поле» (англ. field) ввёл в 1893 году американский математик Элиаким Гастингс Мур[1].

Будучи наиболее близким из всех общеалгебраических абстракций к обычным числам, поле используется в линейной алгебре как структура, универсализирующая понятие скаляра, и основная структура линейной алгебры — линейное пространство — определяется как конструкция над произвольным полем. Также теория полей в значительной степени составляет инструментальную основу таких разделов, как алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел.

Алгебра над множеством ${\displaystyle F}$, образующая коммутативную группу по сложению ${\displaystyle +}$ над ${\displaystyle F}$ с нейтральным элементом ${\displaystyle {\boldsymbol {0}}}$ и коммутативную группу по умножению над ненулевыми элементами ${\displaystyle F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}}$, при выполняющемся свойстве дистрибутивности умножения относительно сложения.

Если раскрыть определение, то множество ${\displaystyle F}$ с введёнными на нём алгебраическими операциями сложения ${\displaystyle +}$ и умножения ${\displaystyle *}$ (${\displaystyle +\colon F\times F\to F,\quad *\colon F\times F\to F}$, то есть ${\displaystyle \forall a,b\in F\quad (a+b)\in F,\;a*b\in F}$) называется полем ${\displaystyle \left\langle F,+,*\right\rangle }$, если выполнены следующие аксиомы:

1. Коммутативность сложения: ${\displaystyle \forall a,b\in F\quad a+b=b+a}$.
2. Ассоциативность сложения: ${\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)}$.
3. Существование нулевого элемента: ${\displaystyle \exists {\boldsymbol {0}}\in F\colon \forall a\in F\quad a+{\boldsymbol {0}}=a}$.
4. Существование противоположного элемента: ${\displaystyle \forall a\in F\;\exists (-a)\in F\colon a+(-a)={\boldsymbol {0}}}$.
5. Коммутативность умножения: ${\displaystyle \forall a,b\in F\quad a*b=b*a}$.
6. Ассоциативность умножения: ${\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)}$.
7. Существование единичного элемента: ${\displaystyle \exists e\in F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}\colon \forall a\in F\quad a*e=a}$.
8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов: ${\displaystyle (\forall a\in F\colon a\neq {\boldsymbol {0}})\;\exists a^{-1}\in F\colon a*a^{-1}=e}$.
9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: ${\displaystyle \forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=(a*c)+(b*c)}$.

Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению ${\displaystyle +}$ над ${\displaystyle F}$, аксиомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению ${\displaystyle *}$ над ${\displaystyle F\setminus \{{\boldsymbol {0}}\}}$, а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.

Аксиомы 1—7 и 9 — это определение коммутативного кольца с единицей.

Исключив аксиому коммутативности умножения, получим определение тела.

В связи с другими структурами (исторически возникшими позднее) поле может быть определено как коммутативное кольцо, являющееся телом. Иерархия структур следующая:

Коммутативные кольца ⊃ Области целостности ⊃ Факториальные кольца ⊃ Области главных идеалов ⊃ Евклидовы кольца ⊃ Поля.

Над полями естественным образом вводятся основные общеалгебраические определения: подполем называется подмножество, само являющееся полем относительно сужения на него операций из основного поля, расширением — поле, содержащее данное в качестве подполя.

Гомоморфизм полей вводится также естественным образом: как отображение ${\displaystyle f}$, такое что ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$, ${\displaystyle f(ab)=f(a)\cdot f(b)}$ и ${\displaystyle f(1)=1}$. В частности, никакой обратимый элемент при гомоморфизме не может перейти в ноль, так как ${\displaystyle f(a)\cdot f(a^{-1})=f(a\cdot a^{-1})=1}$, следовательно, ядро любого гомоморфизма полей нулевое, то есть гомоморфизм полей является вложением.

Характеристика поля — то же, что и характеристика кольца, наименьшее положительное целое число ${\displaystyle n}$ такое, что сумма ${\displaystyle n}$ копий единицы равна нулю:

${\displaystyle \underbrace {1+\dots +1} _{n}=n1=0.}$

Если такого числа не существует, то характеристика считается равной нулю. Задачу определения характеристики обычно решают с задействованием понятия простого поля — поля, не содержащего собственных подполей, благодаря факту, что любое поле содержит ровно одно из простых полей.

Поля Галуа — поля, состоящие из конечного числа элементов. Названы в честь их первого исследователя Эвариста Галуа.

• Характеристика поля всегда ${\displaystyle 0}$ или простое число.
  • Поле характеристики ${\displaystyle 0}$ содержит подполе, изоморфное полю рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
  • Поле простой характеристики ${\displaystyle p}$ содержит подполе, изоморфное полю вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.
• Количество элементов в конечном поле всегда равно ${\displaystyle p^{n}}$ — степени простого числа.
  • При этом для любого числа вида ${\displaystyle p^{n}}$ существует единственное (с точностью до изоморфизма) поле из ${\displaystyle p^{n}}$ элементов, обычно обозначаемое ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}}$.
• В поле нет делителей нуля.
• Любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля является циклической. В частности, мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{q-1}}$.
• С точки зрения алгебраической геометрии , поля — это точки, потому что их спектр состоит ровно из одной точки — идеала {0}. Действительно, поле не содержит других собственных идеалов: если к идеалу принадлежит ненулевой элемент, то в идеале находятся и все кратные ему, то есть всё поле. Обратно, коммутативное кольцо, не являющееся полем, содержит необратимый (и ненулевой) элемент a. Тогда главный идеал, порождённый a, не совпадает со всем кольцом и содержится в некотором максимальном (а следовательно, простом) идеале; а значит, спектр этого кольца содержит как минимум две точки.

• Алгебраически замкнутое поле

• Бурбаки Н. Алгебра. Часть 2. Многочлены и поля. Упорядоченные группы . — М.: Наука, 1965.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — 564 с.
• P. Aluffi. Chapter VII // Algebra: Chapter 0. — American Mathematical Society, 2009 . — (Graduate Studies in Mathematics ). — ISBN 0-8218-4781-3.
• Galois, Évariste. Sur la théorie des nombres (неопр.) // Bulletin des Sciences mathématiques. — 1830. — Т. XIII. — С. 428.
• Л. В. Кузьмин. Поле // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.