Факториальное кольцо

Более формально, факториальное кольцо определяется как область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент x можно записать в виде произведения (пустого произведения, если x обратим) неприводимых элементов p_i и обратимого элемента u:

x = u p₁ p₂ ⋯ p_n

и это разложение единственно в следующем смысле: Если q₁, … , q_m — неприводимые элементы R и w — обратимый элемент, такие что

x = w q₁ q₂ ⋯ q_m ,

то m = n и существует биективное отображение φ : {1, … , n} → {1, … , m} такое что p_i — элемент, ассоциированный с q_φ(i) для i ∈ {1, … , n}.

• Все евклидовы кольца, в частности, кольцо целых чисел (см. основная теорема арифметики) и кольцо гауссовых целых чисел. См. статьи Факторизация целых чисел и Факторизация гауссовых чисел.
• Если R факториально, то и кольцо многочленов R[x] факториально, отсюда следует, что и кольцо R[x₁, … , x_n] факториально.
• Теорема Аусландера — Буксбаума: каждое регулярное локальное кольцо является факториальным.
• Кольцо формальных степенных рядов над областью главных идеалов является факториальным.
• Пусть R — поле характеристики не 2. Клейн и Нагата показали, что R[x₁, … , x_n]/Q факториально, если Q — невырожденная квадратичная форма и n не меньше пяти.
• Локализация факториального кольца факториальна. Более того, подходящей локализацией и из нефакториального кольца можно получить факториальное кольцо. Например, кольцо ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Z} } [{\sqrt {-3}}]}$ не факториально (т.к. ${\displaystyle (1+{\sqrt {-3}})\cdot (1-{\sqrt {-3}})=4=2\cdot 2}$), а его локализация ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}},1/2]}$ факториальна.

Пусть A — целостное кольцо. Следующие утверждения эквивалентны:

• A факториально.
• Каждый ненулевой простой идеал A содержит простой элемент (то есть такой элемент, что главный идеал, порожденный этим элементом, прост).
• A — кольцо Крулля, в котором каждый дивизорный идеал главный (так определяется факториальное кольцо у Бурбаки).
• A — кольцо Крулля и каждый простой идеал, не содержащий других ненулевых простых идеалов, главный.

1. В факториальных кольцах корректно определены понятия наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного любого конечного набора элементов, а также понятие взаимной простоты элементов.

2. Лемма о совместной делимости. Если элемент ${\displaystyle N}$ факториального кольца делится на каждый из элементов ${\displaystyle a_{1}}$, ${\displaystyle a_{2}}$, … ,${\displaystyle a_{k}}$, причём эти элементы попарно взаимно просты, тогда ${\displaystyle N}$ делится на их произведение.

3. Если ${\displaystyle N^{n}=a_{1}a_{2}\dots a_{k}}$, причём элементы ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{k}}$ попарно взаимно просты, тогда каждое из них имеет вид ${\displaystyle a_{i}=u_{i}b_{i}^{n}}$, где ${\displaystyle u_{i}}$ — обратимые элементы кольца.

4. Любую дробь ${\displaystyle a/b}$, составленную из элементов факториального кольца, можно записать в несократимом виде, то есть существуют взаимно простые элементы ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ (однозначно определённые с точностью до ассоциирования), такие что ${\displaystyle a/b=p/q}$.

5. Теорема Гаусса. Если дробь ${\displaystyle a/b}$ является корнем многочлена ${\displaystyle x^{n}+c_{1}x^{n-1}+\dots +c_{n}}$ со старшим коэффициентом, равным 1 (элементы ${\displaystyle a,b}$, а также все коэффициенты многочлена — элементы факториального кольца ${\displaystyle R}$), тогда ${\displaystyle a/b}$ лежит в ${\displaystyle R}$, то есть ${\displaystyle a}$ делится на ${\displaystyle b}$ в кольце ${\displaystyle R}$. (Данное свойство кольца называется целозамкнутостью).

• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М.: Мир, 1971.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — Мир, 1967.