Неприводимый элемент

Неприводи́мый элеме́нт (неразложимый элемент) — одно из основных понятий теории колец.

Пусть R — область целостности, т.е. коммутативное кольцо без делителей нуля. Элемент p≠0 называется неприводимым, если он не является обратимым и из равенства p=bc, следует, что либо b, либо c является обратимым.

Если p≠0 — простой элемент, т.е. (p) — простой идеал, то p неприводим. В самом деле, тогда если p=ab имеем в силу простоты (p) что, например ${\displaystyle a\in (p)}$. Тогда имеем: a=px для некоторого x, значит a=abx и bx=1, т.е. b является обратимым. Обратное в общем случае неверно, хотя выполняется для всякого факториального кольца.

Многочлены над кольцом R называются неприводимыми, если они являются неприводимыми элементами ${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$.