Корень (математика)

• Корень нечётной степени из положительного числа — положительное число, однозначно определенное.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=b}$,   где   ${\displaystyle a,b>0,}$   ${\displaystyle n}$ — нечётное

Например, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{125}}=5,\ {\sqrt[{5}]{32}}=2,\ {\sqrt[{15}]{1}}=1}$

• Корень нечётной степени из отрицательного числа — отрицательное число, однозначно определенное.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=b}$,   где   ${\displaystyle a,b<0,}$   ${\displaystyle n}$ — нечётное

Например, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2,\ {\sqrt[{5}]{-243}}=-3,\ {\sqrt[{7}]{-1}}=-1}$

• Корень чётной степени из положительного числа имеет два значения с противоположными знаками, но равными по модулю.

${\displaystyle \pm {\sqrt[{n}]{a}}=\pm b}$,   где   ${\displaystyle a,b>0,}$   ${\displaystyle n}$ — чётное

Например, ${\displaystyle \pm {\sqrt {4}}=\pm 2,\ \ \pm {\sqrt[{4}]{81}}=\pm 3,\ \ \pm {\sqrt[{10}]{1024}}=\pm 2}$

• Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел, поскольку при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число. Ниже будет показано, как извлекать такие корни в более широкой системе — множестве комплексных чисел (тогда значениями корня будут ${\displaystyle n}$ комплексных чисел).

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}$   не существует в области вещественных чисел, если   ${\displaystyle a<0,}$   ${\displaystyle n}$ — чётное

• Корень любой натуральной степени из нуля — ноль.

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{0}}=0}$

Как сказано выше: «Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в области вещественных чисел». При этом в области комплексных чисел такой корень существует. Поэтому следует всегда учитывать, в какой числовой системе (вещественных или комплексных чисел) мы извлекаем корень.

1. Пример. В области вещественных чисел, квадратный корень из ${\displaystyle -9}$ не существует.
2. Пример. В области комплексных чисел, квадратный корень из ${\displaystyle -9}$ равен ${\displaystyle \pm 3i.}$

График функции арифметического квадратного корня

Выше уже говорилось, что корни чётной степени определены, вообще говоря, неоднозначно, и этот факт создаёт неудобства при их использовании. Поэтому было введено практически важное ограничение этого понятия[6].

Арифметический корень ${\displaystyle n}$-й степени из неотрицательного вещественного числа ${\displaystyle a}$ — это неотрицательное число ${\displaystyle b}$, для которого ${\displaystyle b^{n}=a.}$ Обозначается арифметический корень знаком радикала.

Таким образом, арифметический корень, в отличие от корня общего вида (алгебраического), определяется только для неотрицательных вещественных чисел, а его значение всегда существует, однозначно[7] и неотрицательно. Например, квадратный корень из числа ${\displaystyle 4}$ имеет два значения: ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle -2}$, из них арифметическим является первое.

Приведённые ниже формулы верны, прежде всего, для арифметических корней любой степени (кроме особо оговоренных случаев). Они справедливы также для корней нечётной степени, у которых допускаются и отрицательные подкоренные выражения[8].

• Взаимопогашение корня и степени:[9] 
  • для нечётного ${\displaystyle n}$:    ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a}$,
  • для чётного ${\displaystyle n}$:    ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{n}}}}}=|a|}$
• Если ${\displaystyle a<b}$, то и ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}<{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}}$

Корень из произведения равен произведению корней из сомножителей:

• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{ab}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}}$

Аналогично для деления:

• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{\frac {a}{b}}}}}={\frac {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{b}}}}},\;b\neq 0}$

Следующее равенство есть определение возведения в дробную степень[10]:

• ${\displaystyle a^{m/n}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}}=\left({\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^{m}}$

Величина корня не изменится, если его показатель и степень подкоренного выражения разделить на одно и то же число (множитель показателя степени и показатель степени подкоренного выражения):

• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a^{mk}}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}},\;n,k\in \mathbb {N} .}$ Пример: ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}6}]{\color {black}{64}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}{2\cdot 3}}]{\color {black}{4^{3}}}}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}{4}}}}=2}$
• ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {blue}{\sqrt[{\color {black}k}]{\color {black}{a}}}}}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}nk}]{\color {black}{a}}}},\;n,k\in \mathbb {N} }$

Для корней нечётной степени укажем дополнительное свойство:

• ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{-a}}=-{\sqrt[{n}]{a}}}$

Операция возведения в степень первоначально была введена как сокращённая запись операции умножения натуральных чисел: ${\displaystyle m^{n}={\color {Gray}\underbrace {\color {Black}m\cdot m\cdot \dots \cdot m} _{\color {Black}n}}}$. Следующим шагом было определение возведения в произвольную целую, в том числе отрицательную, степень: ${\displaystyle m^{-n}={\frac {1}{m^{n}}}.}$

Операция извлечения арифметического корня позволяет определить возведение положительного числа в любую рациональную (дробную) степень[10]:

${\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a^{m}}}}},}$     ${\displaystyle a>0}$

При этом числитель ${\displaystyle m}$ дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ может иметь знак. Свойства расширенной операции в основном аналогичны возведению в целую степень.

Это определение означает, что извлечение корня и обратное к нему возведение в степень фактически объединяются в одну алгебраическую операцию. В частности:

${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{a}}}}=a^{\frac {1}{n}}}$

Попытки возведения в рациональную степень отрицательных чисел могут привести к ошибкам, поскольку значение алгебраического корня неоднозначно, а область значений арифметического корня ограничена неотрицательными числами. Пример возможной ошибки:

${\displaystyle -1=(-1)^{2\ \cdot \ {\frac {1}{2}}}=\left({(-1)^{2}}\right)^{\frac {1}{2}}=1^{\frac {1}{2}}={\color {blue}{\sqrt {\color {black}1}}}=1}$

• Графики функций корня
• 
  Функции корня и обратные к ним степенные функции на интервале ${\displaystyle [0;\ 1]}$
• 
  Функции корня:
  — арифметический, чётные степени 2, 4, 6
  — общий, нечётные степени 3, 5, 7

Если рассматривать подкоренное выражение как переменную, мы получим функцию корня ${\displaystyle n}$-й степени: ${\displaystyle y={\sqrt[{n}]{x}}}$. Функция корня относится к категории алгебраических функций. График любой функции корня проходит через начало координат и точку ${\displaystyle (1;\ 1)}$.

Как сказано выше, для корня чётной степени, чтобы обеспечить однозначность функции, корень должен быть арифметическим, так что аргумент ${\displaystyle x}$ неотрицателен. Функция корня нечётной степени однозначна и существует для любого вещественного значения аргумента.

Тип функции корня	Область определения	Область значений	Другие свойства
Чётной степени	${\displaystyle [0;\ +\infty )}$	${\displaystyle [0;\ +\infty )}$	Функция выпукла вверх на всей области определения
Нечётной степени	${\displaystyle (-\infty$ ;+\infty )}	${\displaystyle (-\infty$ ;+\infty )}	Функция нечётна

Для любой степени функция корня строго возрастает, непрерывна всюду внутри своей области определения. Неограниченно дифференцируема всюду, кроме начала координат, где производная обращается в бесконечность[11] [12]. Производная определяется по формуле[13]:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n{\sqrt[{n}]{x^{n-1}}}}}}$   . В частности,   ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}$.

Функция неограниченно интегрируема во всей области определения. Неопределенный интеграл ищется по формуле:

${\displaystyle \int {\sqrt[{n}]{x}}\;dx={\frac {\sqrt[{n}]{x^{n+1}}}{1+{\frac {1}{n}}}}+C}$   . В частности,   ${\displaystyle \int {\sqrt {x}}\;dx={\frac {2{\sqrt {x^{3}}}}{3}}+C}$   , где   ${\displaystyle C}$ — произвольная постоянная.

Неограниченная дифференцируемость и интегрируемость функции

• Формула нахождения производной ${\displaystyle k}$-го порядка[14] функции ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$:

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}{\sqrt[{n}]{x}}=(-1)^{k}{\frac {\prod _{m=0}^{k-1}(mn-1)}{{n^{k}}{\sqrt[{n}]{x^{kn-1}}}}}}$

где ${\displaystyle \ k,n\in \mathbb {N} ,\ x\neq 0}$

• Формула нахождения ${\displaystyle k}$-го неопределённого интеграла[15] функции ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}$:

${\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int } _{k}{\sqrt[{n}]{x}}\ \underbrace {dx\cdots dx} _{k}={\frac {{n^{k}}{\sqrt[{n}]{x^{kn+1}}}}{\prod _{m=1}^{k}(1+mn)}}+C}$

где ${\displaystyle k,n\in \mathbb {N} ,\ C=const}$

Правые части формул являются алгебраическими выражениями, которые существуют всегда, при натуральном ${\displaystyle k}$. Следовательно и левые тоже.

Приведём несколько полезных пределов, содержащих корни[16].

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\ln n}}=1}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)=\ln x}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {{\sqrt[{n}]{(x+1)^{m}}}-1}{x}}={\frac {m}{n}}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {{\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}}{2}}\right)^{n}={\sqrt {ab}}}$

Функция вычисления квадратных и кубических корней предусмотрена во многих калькуляторах; например, калькулятор Windows показывает соответствующие кнопки в режиме «Инженерный» (Научный). Если на электронном калькуляторе есть клавиша возведения в степень: ${\displaystyle y^{x},}$ то для извлечения корня из текущего числа надо нажать следующие клавиши[17].

${\displaystyle y^{x}}$

Набрать показатель корня

Нажать клавишу ${\displaystyle 1/x}$

Нажать клавишу ${\displaystyle =}$

Для расчёта вручную можно использовать быстро сходящийся метод, изложенный в статье «Алгоритм нахождения корня n-ной степени». Для степеней выше третьей можно использовать логарифмическое тождество:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=a^{\frac {\log _{a}(x)}{n}}=e^{\frac {\ln(x)}{n}}}$

Для извлечения корня надо найти логарифм подкоренного выражения, разделить на степень корня и найти антилогарифм результата.

Запишем комплексное число ${\displaystyle z}$ в тригонометрической форме:

${\displaystyle z=r\left(\cos {\varphi }+i\sin {\varphi }\right)}$.

Тогда корни ${\displaystyle n}$-й степени из ${\displaystyle z}$ определяются формулой Муавра (тригонометрическая форма)[18]:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{r}}}}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),\;k=0,1,\dots ,n-1}$

Корни третьей и шестой степени из единицы (вершины треугольника и шестиугольника соответственно)

или в показательной форме:

${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{r}}}}e^{\left(i{\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right)},\;k=0,1,\dots ,n-1}$

Корень степени ${\displaystyle n}$ из ненулевого комплексного числа имеет ${\displaystyle n}$ значений (это следствие основной теоремы алгебры), и все они различны. Значение корня, получаемое при ${\displaystyle k=0}$, часто называется главным.

Поскольку для всех значений корня величина модуля одинакова (он определяется как арифметический корень из модуля изначального комплексного числа), а меняется лишь его аргумент, все ${\displaystyle n}$ значений корня располагаются на комплексной плоскости на окружности радиуса ${\displaystyle {\color {blue}{\sqrt[{\color {black}n}]{\color {black}{r}}}}}$ c центром в начале координат. Корни делят эту окружность на ${\displaystyle n}$ равных частей.

Найдём ${\displaystyle {\sqrt {-4}}}$. Поскольку ${\displaystyle -4=4(\cos {\pi }+i\sin {\pi }),}$ по формуле получаем:

${\displaystyle {\sqrt {-4}}=2\left(\cos {\frac {\pi +2\pi k}{2}}+i\sin {\frac {\pi +2\pi k}{2}}\right),\;k=0,1}$

При ${\displaystyle k=0}$ получим первый корень ${\displaystyle 2i}$, при ${\displaystyle k=1}$ получим второй корень ${\displaystyle (-2i).}$

Другой пример: найдём ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{-16}}}$. Представим подкоренное выражение в тригонометрической форме:

${\displaystyle -16=16\ (\cos(\pi +2k\pi )+i\sin(\pi +2k\pi ))}$

По формуле Муавра получаем:

${\displaystyle z_{k}={\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt[{4}]{16}}\left(\cos {\frac {\pi +2k\pi }{4}}+i\sin {\frac {\pi +2k\pi }{4}}\right)}$

В итоге имеем четыре значения корня[19]:

${\displaystyle z_{0}=2\left(\cos {\frac {\pi }{4}}+i\sin {\frac {\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\ (1+i)}$

${\displaystyle z_{1}=2\left(\cos {\frac {3\pi }{4}}+i\sin {\frac {3\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\ (-1+i)}$

${\displaystyle z_{2}=2\left(\cos {\frac {5\pi }{4}}+i\sin {\frac {5\pi }{4}}\right)=-{\sqrt {2}}\ (1+i)}$

${\displaystyle z_{3}=2\left(\cos {\frac {7\pi }{4}}+i\sin {\frac {7\pi }{4}}\right)={\sqrt {2}}\ (1-i)}$

Можно записать сводный ответ в виде: ${\displaystyle {\sqrt[{4}]{-16}}={\sqrt {2}}\ (\pm 1\pm i)}$

Рассмотрим комплексную функцию корня ${\displaystyle n}$-й степени: ${\displaystyle w={\sqrt[{n}]{z}}.}$ Согласно сказанному выше, эта функция является многозначной (точнее, ${\displaystyle n}$-значной) функцией, и это создаёт неудобства при её исследовании и применении. В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определённую не на плоскости, а на более сложном многообразии, которое называется римановой поверхностью[20].

• 
  Риманова поверхность для комплексного квадратного корня
• 
  Риманова поверхность для комплексного корня 4-й степени

Для комплексной функции корня ${\displaystyle n}$-й степени её риманова поверхность (см. рисунки) состоит из ${\displaystyle n}$ ветвей (листов), связанных винтообразно, причём последний лист связан с первым. Эта поверхность непрерывна и односвязна. Один из листов содержит главные значения корня, получаемые как аналитическое продолжение вещественного корня с положительного луча вещественной оси.

Опишем для простоты комплексную функцию квадратного корня. Её риманова поверхность состоит из двух листов. Первый лист можно представить как комплексную плоскость, у которой вырезан положительный луч вещественной оси. Значения функции корня ${\displaystyle w}$ на этом листе имеют вдвое меньший аргумент, чем ${\displaystyle z}$, и поэтому они заполняют верхнюю часть комплексной плоскости значений. На разрезе первый лист склеен со вторым, и функция непрерывно продолжается через разрез на второй лист, где её значения заполняют нижнюю часть комплексной плоскости значений. Оставшиеся свободными начало первого листа и конец второго тоже склеим, после чего полученная функция на римановой поверхности становится однозначной и всюду непрерывной[20].

Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при ${\displaystyle z=0}$. Особые точки: ${\displaystyle z=0}$ и ${\displaystyle z=\infty }$ (точки разветвления бесконечного порядка)[20]. Понятие точки разветвления означает, что замкнутый контур в окрестности нуля неизбежно содержит переход с листа на лист.

В силу односвязности риманова поверхность корня является универсальной накрывающей[21] для комплексной плоскости без точки ${\displaystyle 0}$.

Вавилонская табличка (около 1800—1600 г. до н. э.) с вычислением ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}}$
${\displaystyle =1{,}41421296\dots }$

Первые задачи, связанные с извлечением квадратного корня, обнаружены в трудах вавилонских математиков (о достижениях древнего Египта в этом отношении ничего не известно). Среди таких задач[27]:

• Применение теоремы Пифагора для нахождения стороны прямоугольного треугольника по известным двум другим сторонам.
• Нахождение стороны квадрата, площадь которого задана.
• Решение квадратных уравнений.

Вавилонские математики (II тысячелетие до н. э.) разработали для извлечения квадратного корня особый численный метод. Начальное приближение для ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа ${\displaystyle n}$. Представив подкоренное выражение в виде: ${\displaystyle a=n^{2}+r}$, получаем: ${\displaystyle x_{0}=n+{\frac {r}{2n}}}$, затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий методу Ньютона[28]:

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ }$

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$, например, ${\displaystyle a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_{0}={\frac {9}{4}}=2{,}25,}$ и мы получаем последовательность приближений:

${\displaystyle x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779}$

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Аналогичные задачи и методы встречаются в древнекитайской «Математике в девяти книгах»[29]. Древние греки сделали важное открытие: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ — иррациональное число. Детальное исследование, выполненное Теэтетом Афинским (IV век до н. э.), показало, что если корень из натурального числа не извлекается нацело, то его значение иррационально[30].

Греки сформулировали проблему удвоения куба, которая сводилась к построению кубического корня с помощью циркуля и линейки. Проблема оказалась неразрешимой. Численные алгоритмы извлечения кубического корня опубликовали Герон (в трактате «Метрика», I век н. э.) и индийский математик Ариабхата I (V век)[31].

Алгоритмы извлечения корней любой степени из целого числа, разработанные индийскими и исламскими математиками, были усовершенствованы в средневековой Европе. Николай Орем (XIV век) впервые истолковал[32] корень ${\displaystyle n}$-й степени как возведение в степень ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$.

После появления формулы Кардано (XVI век) началось применение в математике мнимых чисел, понимаемых как квадратные корни из отрицательных чисел[33]. Основы техники работы с комплексными числами разработал в XVI веке Рафаэль Бомбелли, который также предложил оригинальный метод вычисления корней (с помощью цепных дробей). Открытие формулы Муавра (1707) показало, что извлечение корня любой степени из комплексного числа всегда возможно и не приводит к новому типу чисел[34].

Комплексные корни произвольной степени в начале XIX века глубоко исследовал Гаусс, хотя первые результаты принадлежат Эйлеру[35]. Чрезвычайно важным открытием (Галуа) стало доказательство того факта, что не все алгебраические числа (корни многочленов) могут быть получены из натуральных с помощью четырёх действий арифметики и извлечения корня[36].

Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение квадратного корня древние греки понимали строго геометрически: как нахождение стороны квадрата по известной его площади. После перевода на санскрит греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание). Слово «мула» имело также значение «корень», поэтому при переводе индийских сиддхант на арабский использовался термин «джизр» (корень растения). Впоследствии аналогичное по смыслу слово «radix» закрепилось в латинских переводах с арабского, а через них и в русской математической терминологии («корень», «радикал»)[37].

Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень[38] символом R_x, сокращение от слова «radix». Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов (то есть алгебраистов), в 1525 году[39]. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова «radix». Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

Показатель степени появился в знаке корня благодаря Валлису и «Универсальной арифметике» Ньютона (XVIII век)[40].