Основная теорема алгебры

Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт (теорема Лиувилля), что ограниченная функция, аналитическая на всей комплексной плоскости (целая функция) и не имеющая особенностей на бесконечности, — константа. Поэтому функция ${\displaystyle 1/p(z)}$, где ${\displaystyle p(z)}$ — многочлен, не сводящийся к константе, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен ${\displaystyle p(z)}$ имеет хотя бы один корень.

Прямым следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени ${\displaystyle n}$ над полем комплексных чисел имеет в нём ровно ${\displaystyle n}$ корней, с учётом их кратности.

Теорема впервые встречается у немецкого математика Петера Рота (?—1617). В своём трактате «Arithmetica Philosophica» (1608) он высказал предположение о том, что многочлен степени ${\displaystyle n}$ может иметь не более ${\displaystyle n}$ корней[1]. Более смелую формулировку дал Альбер Жирар в труде «Новое открытие в алгебре» (1629): уравнение степени ${\displaystyle n}$ должно иметь ровно ${\displaystyle n}$ корней, действительных (включая отрицательные) или «воображаемых» (последний термин обозначал комплексные невещественные корни, пользу от которых Жирар особо оговорил). Однако Жирар сделал оговорку: эта теорема может быть неверна, если уравнение «неполное», то есть некоторые коэффициенты равны нулю. Взгляды Рота и Жирара опередили своё время и широкой известности не получили[2].

Декарт в труде «Геометрия» (1637) использовал следующую формулировку: «Всякое уравнение может иметь столько же различных корней, или же значений неизвестной величины, сколько последняя имеет измерений»; далее он тоже делает оговорку: «хотя всегда можно вообразить себе столько корней, сколько я сказал, но иногда не существует ни одной величины, которая соответствует этим воображаемым корням»[3].

Маклорен и Эйлер уточнили формулировку теоремы, придав ей форму, эквивалентную современной: всякий многочлен с вещественными коэффициентами можно разложить в произведение линейных и квадратичных множителей с вещественными коэффициентами. Д’Аламбер первым в 1746 году представил доказательство этой теоремы, которое было опубликовано в 1748 году[4]; оно, однако, основывалось на лемме, доказанной только в 1851 году, причём доказанной с использованием основной теоремы алгебры. В 1749 году было представлено, а в 1751 году — опубликовано доказательство Эйлера[5], при этом работал он над данной проблемой почти в то же время, что и Д’Аламбер[6]. Также во второй половине XVIII века появляются доказательства Лагранжа (1772)[7], Лапласа (1795)[8] и других. Все эти доказательства тоже опирались на недоказанные предположения — например, Эйлер считал очевидным, что вещественный многочлен нечётной степени непременно имеет вещественный корень, а Лаплас предположил без доказательства, что все корни многочлена либо вещественные, либо комплексные невещественные[9].

Гаусс в 1799 году дал своё доказательство, однако использовал то же предположение, что и Эйлер; впоследствии он не раз возвращался к этой теме и дал ещё три доказательства, основанные на различных идеях, однако всегда привлекающие средства неалгебраического характера[9]. Первое полное и строгое доказательство было представлено Жаном Арганом в 1814 году; в 1816 году строгое доказательство опубликовал и Гаусс[10].

В 2007 году Джозеф Шипман показал, что предположение о том, что многочлены нечётной степени с действительными коэффициентами имеют корни, сильнее, чем необходимо; любое поле, в котором многочлены простой степени имеют корни, алгебраически замкнуто (поэтому «нечётное» можно заменить на «нечётное простое», и, кроме того, это верно для полей любой характеристики)[11].

• Основная теорема анализа
• Основная теорема арифметики

• Алгебры основная теорема // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 199—200.
• Алексеев В. Б. Теорема Абеля в задачах и решениях // Математическое просвещение. — МЦНМО, 2001. — С. 192. Архивировано 8 октября 2010 года.
• Башмакова И.Г. О доказательстве основной теоремы алгебры // Историко-математические исследования / Под редакцией Г. Ф. Рыбкина, А. П. Юшкевича. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957. — Вып. X. — С. 257—304.
• Ван дер Варден. Алгебра. Определения, теоремы, формулы. — СПб.: Мир, 1975. — 649 с.
  • Переиздание: СПб, Лань, 2004, ISBN 5-8114-0552-9, 624 с.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Тихомиров В. М., Успенский В. В. Десять доказательств основной теоремы алгебры // Математическое просвещение. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50—70.
• Almira, J.M. & Romero, A. (2012), Some Riemannian geometric proofs of the Fundamental Theorem of Algebra, Differential Geometry – Dynamical Systems Т. 14: 1–4, <http://www.mathem.pub.ro/dgds/v14/D14-al.pdf>
• de Oliveira, O.R.B. (2011), The Fundamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof, Mathematical Intelligencer Т. 33 (2): 1–2, DOI 10.1007/s00283-011-9199-2
• Taylor, Paul (2 June 2007), Gauss's second proof of the fundamental theorem of algebra, <http://www.paultaylor.eu/misc/gauss-web.php> — English translation of Gauss’s second proof.

• J. J. O'Connor, E. F. Robertson. The fundamental theorem of algebra (неопр.). MacTutor History of Mathematics archive. School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (май 1996).