Теорема Лиувилля об ограниченных целых аналитических функциях

• Если ${\displaystyle f(z)}$ ― целая функция в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ и для некоторого ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle |f(z)|\leqslant C(1+|z|^{r})}$

то ${\displaystyle f(z)}$ есть многочлен по переменным ${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$ степени не выше ${\displaystyle r}$.

• Если ${\displaystyle u(x)}$ ― вещественная гармоническая функция во всём числовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$,

${\displaystyle u(x)<C(1+|x|^{r})}$

то ${\displaystyle u(x)}$ есть гармонический многочлен по переменным.

Это предложение, одно из основных в теории аналитических функций, впервые, по-видимому, было опубликовано в 1844 Коши для случая ${\displaystyle n=1}$. Лиувилль излагал его на лекциях в 1847, откуда и произошло название.

Пусть ${\displaystyle f(z)}$ ограничена на комплексной плоскости, то есть

${\displaystyle \exists M\forall z|f(z)|\leq M}$

Воспользуемся интегральной формулой Коши для производной ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{2}}}d\xi }$ Где ${\displaystyle C_{R}}$ — окружность радиуса ${\displaystyle R}$, содержащая точку ${\displaystyle z}$, или ${\displaystyle |\xi -z|=R}$.

Имеем:

${\displaystyle |f^{\prime }(z)|\leq {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{R^{2}}}2\pi R={\frac {M}{R}}}$

Отсюда, в силу того, что интегральная формула Коши справедлива для любого контура, имеем ${\displaystyle \lim _{R\to \infty }{\frac {M}{R}}=0}$

А значит ${\displaystyle f^{\prime }(z)=0}$ и, следовательно, ${\displaystyle f(z)}$ является константой. Теорема доказана.