Геометрия (Декарт)

В некотором смысле можно сказать, что Декарт поменял приоритеты алгебры и геометрии, исправив стратегическую ошибку древнегреческих математиков. В V веке до н. э. разразился первый кризис оснований математики[3] — пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть их отношение (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$) нельзя выразить ни натуральным числом, ни дробью. Однако других числовых объектов, кроме натуральных чисел, античные математики не признавали, даже дробь рассматривалась ими не как число, а как соотношение (пропорция). Найти выход сумел в IV веке до н. э. Евдокс Книдский — он ввёл, наряду с числами, понятие геометрических величин (длин, площадей, объёмов). Для однородных величин были определены арифметические операции, аналогичные числовым. Теория Евдокса была изложена Евклидом в пятой книге его «Начал», и она использовалась в Европе до XVII века. Теоремы о числах Евклиду приходилось отдельно передоказывать для величин, да и арифметика величин была существенно беднее, чем числовая — хотя бы потому, что касалась только однородных величин[4][5].

В Новое время выяснилось, что построение числовой алгебры на основе геометрии было ошибкой. Например, с точки зрения геометрии выражения ${\displaystyle x^{2}+x}$ и даже ${\displaystyle x^{4}}$ не имели геометрического истолкования (не определена физическая размерность величины-результата) и поэтому не имели смысла; то же относится к отрицательным числам[6].

Декарт пошёл иным путём — вместо сведе́ния алгебры к геометрии он свёл геометрию к алгебре, и этот путь оказался намного более плодотворным. Чтобы сделать это возможным, Декарт расширил понятие числа — оно вобрало все вещественные числа, включая иррациональные, и является отвлечённым, то есть отделено от геометрии[7]. Отдельное понятие геометрической величины тогда становится излишним. Алгебраизация геометрии позволила, кроме того, обнаружить общие черты в геометрических задачах, которые казались совершенно независимыми[8][9].

В сочетании с символической алгеброй Франсуа Виета и хорошо развитой к этому моменту системой алгебраических обозначений (в развитии которой и сам Декарт принимал участие) это новшество позволяло проводить математические исследования невиданной ранее глубины и общности. Впервые план такой реформы математики Декарт изложил 26 марта 1619 года в письме голландскому математику Исааку Бекману. Дополнительный материал Декарт получил в ходе своих занятий оптикой[10].

Декарт практически не ссылается в «Геометрии» на труды других учёных, что дало повод Валлису и нескольким другим математикам обвинить его в плагиате идей других алгебраистов, в частности, Хэрриота и Жирара. Впрочем, другой свой трактат, «Диоптрика», Декарт также построил так, как будто до него математической оптикой никто не занимался[11][12].

Несомненное влияние на Декарта оказал Франсуа Виет, основатель символической алгебры. Как упоминалось выше, основные идеи своей реформы Декарт начал разрабатывать ещё в 1619 году, так что в узловых пунктах своей программы он вполне самостоятелен. В этом убеждает также его обширная переписка. Жирар раньше Декарта сформулировал основную теорему алгебры (1629), а Хэрриот первым исследовал разложение многочлена на линейные множители (1631). Математическую символику Жирара и Хэрриота Декарт не применял, а с книгой Хэрриота ознакомился уже после выхода в свет «Геометрии». Декарт активно переписывался с Пьером Ферма, который также может претендовать на честь открытия аналитической геометрии, однако влияние Ферма в трудах Декарта не ощущается. Никто из предшественников не предложил столь радикальную реформу математики, как Декарт[13][14].

«Геометрия» делится на три части (книги). Утверждения автора, как правило, не сопровождаются строгими доказательствами, но иллюстрируются большим количеством примеров[16].

Книга первая: «О задачах, которые можно построить, пользуясь только кругами и прямыми линиями». Уже в первой главе автор заявляет: «Все задачи геометрии можно легко привести к таким терминам, что для их построения нужно будет затем знать лишь длину некоторых прямых линий». Декарт описывает соответствие между арифметическими операциями и эквивалентными им геометрическими построениями, знакомит читателя со своей системой обозначений. Далее он даёт метод построения уравнений для решаемой задачи — надо просто записать формулами данные в условии задачи соотношения и затем искать решение полученных уравнений[30].

В качестве примера эффективности своего метода Декарт рассмотрел и решил классическую задачу Паппа (из трактата Паппа «Математическое собрание», книга VII): для ${\displaystyle n}$ прямых на плоскости требуется найти геометрическое место таких точек, для которых произведение длин отрезков, проведённых из этих точек к ${\displaystyle n/2}$ данных прямых под одинаковыми углами, имеет заданное отношение к аналогичному произведению длин отрезков, проведённых к оставшимся прямым. Папп определил, что искомое геометрическое место является коническим сечением, однако полного доказательства не дал; Декарт же рассмотрел не только общий случай, но и особые ситуации (часть исследования помещена им в книгу вторую)[22][23][31].

Книга вторая: «О природе кривых линий». Эта книга посвящена приложениям алгебры к геометрии. Здесь Декарт указал общий метод проведения нормалей и касательных к алгебраическим кривым, который затем применил к некоторым задачам оптики. Дифференциальное исчисление ещё не было создано, и Декарт использует метод неопределённых коэффициентов, который иллюстрируется на примере эллипса, циссоиды Диокла и овала[32]. Когда Пьер Ферма сообщил Декарту свой дифференциальный метод проведения касательных, более простой и практически современный, тот его отверг как выходящий за пределы алгебры, хотя при исследовании циклоиды и логарифмической спирали он сам использовал методы, не укладывающиеся в декартовскую идеологию (например, метод неделимых)[33][34].

Декарт высказал в этой главе пессимизм в отношении возможности вычисления длины дуги произвольной кривой («спрямления кривой», как тогда говорили): по его мнению, «отношение между прямыми и кривыми неизвестно и, даже, думаю, не может быть познано людьми»[35][36], В то время действительно никакая кривая, кроме окружности, не поддавалась спрямлению. Пессимизм оказался неоправданным — двадцать лет спустя (в 1657 году) Уильям Нейл осуществил спрямление параболы Нейла, а ещё через год Рен нашёл длину арки неалгебраической циклоиды. Далее математический анализ создал общую теорию нахождения длины дуги, которая немедленно была использована для самых различных кривых[37].

В конце второй части Декарт пишет: «Я полагаю теперь, что ничего не пропустил из начал, необходимых для познания кривых линий». В действительности необозримые возможности, открытые аналитической геометрией, послужили лишь началом впечатляющего прогресса новой геометрии[23].

Книга третья: «О построении телесных или превосходящих телесные задач». В третьей книге Декарт изложил накопленные к этому периоду основные теоремы алгебры и приёмы решения уравнений, которые увязал в единую систему, с удобной общей символикой и терминологией. В частности, он сформулировал основную теорему алгебры: уравнение может иметь столько различных корней, какова его степень (комплексные корни Декарт называл «воображаемыми» и уделял им мало внимания)[38].

Далее даны (без доказательства) правило знаков Декарта для определения числа положительных и отрицательных корней по коэффициентам многочлена (строго доказано только в XVIII веке Лагранжем), а также правила для определения положения вещественных корней на числовой оси. Опередив на столетие Этьена Безу, Декарт показал, что если ${\displaystyle a}$ — корень многочлена ${\displaystyle p(x),}$ то этот многочлен имеет множитель ${\displaystyle x-a,}$ то есть может быть представлен в виде ${\displaystyle (x-a)p_{1}(x)}$. Декарт сводит задачу трисекции угла к кубическому уравнению и решает его обычным своим методом, с помощью конических сечений[38].

Декарт выразил мнение, что уравнения третьей и более высокой степени решить с помощью циркуля и линейки, вообще говоря, невозможно; другими словами, общее кубическое уравнение нельзя решить, используя только квадратные (а не кубические) корни. Это утверждение оказалось верным, хотя рассуждения автора на эту тему малоубедительны и доказательной силы не имеют. Но Декарт правильно отметил, что решение циркулем и линейкой кубического уравнения с целочисленными коэффициентами и старшим коэффициентом 1 возможно, если это уравнение имеет вещественный корень (который, очевидно, будет целым числом). Декарт также исчерпывающе решил аналогичный вопрос для уравнения 4-й степени, построив его резольвенту 3-го порядка[39][40].

Завершая «Геометрию», Декарт шутливо заметил[41]:

И я надеюсь, что наши потомки будут благодарны мне не только за то, что я здесь разъяснил, но и за то, что мною было добровольно опущено, с целью предоставить им удовольствие самим найти это.

В самом деле, труд Декарта, особенно после выхода его латинского перевода (1649, Франс ван Схотен), сразу приобрёл многочисленных сторонников и вызвал множество публикаций, авторы которых следовали по пути, указанному Декартом, и активно развивали его идеи. «Геометрия» выдержала в течение XVII века четыре переиздания в Голландии и Германии. С каждым новым изданием текст Декарта обрастал обширными дополнениями и разъяснениями трудных мест, уже второе издание занимало два тома[1]. Сам Декарт после «Геометрии» в определённой степени отошёл от математики и отдавал предпочтение развитию своей метафизической натурфилософии (хотя в письмах друзьям дал решение множества задач)[33].

Среди первых идейных последователей Декарта были ван Схотен, Эразм Бартолин, Иоганн Худде, Флоримон де Бон. Несомненное влияние Декарта испытал Джон Валлис (1655), который опубликовал трактат с многозначительным названием «Всеобщая математика или полный курс арифметики» (Mathesis universalis sive arithmeticum opus integrum, 1657), впоследствии переработанный в «Трактат по алгебре» (1685). Валлис распространил алгебраизацию на метод неделимых (до этого чисто геометрический), близко подойдя к созданию интегрального исчисления[42].

Исаак Ньютон в молодости зачитывался «Геометрией» Декарта и даже ставил её выше «Начал» Евклида. В «Универсальной арифметике» Ньютона (1707) отделение алгебры от геометрии состоялось окончательно[38][43][44]. Как отмечал историк Карл Бойер, в своих первых публикациях по анализу Готфрид Лейбниц, осознанно или нет, подражал стилю декартовой «Геометрии»[45]; в одном из писем Лейбниц называет своими учителями Галилея, Декарта и Гюйгенса[46].

Хотя создание в конце XVII века математического анализа обесценило тезис Декарта об универсальности алгебраического подхода, расширение этого тезиса на новой, аналитической основе сохранило всё лучшее, что было в пионерской работе Декарта, и позволило успешно применить новую математику во многих естественных науках[47].

• Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. — М.: ГИФМЛ, 1960. — 468 с.
• Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
• Никифоровский В. А. Из истории алгебры XVI-XVII вв. — М.: Наука, 1979. — 208 с. — (История науки и техники).
• Цейтен Г. Г. История математики в XVI и XVII веках / Обработка, примечания и предисловие М. Выгодского. — Изд. 2-е. — М.—Л.: ОНТИ, 1938. — 456 с.
• Юшкевич А. П. Декарт и математика // Декарт Р. Геометрия. С приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта / Перевод, примечания и статьи А. П. Юшкевича. — М—Л.: Гостехиздат, 1938. — С. 257—294. — 297 с. — (Классики естествознания).
• Яновская С. А. О роли математической строгости в творческом развитии математики и специально о «Геометрии» Декарта // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1966. — № 17. — С. 151—184.
• Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 1 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xvi + 456 p. — ISBN 978-1-60206-684-7.
• Cajori F. A History of Mathematical Notations. Vol. 2 (1929 reprint). — NY: Cosimo, Inc., 2007. — xii + 392 p. — ISBN 978-1-60206-713-4.

• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Descartes (англ.) — биография в архиве MacTutor.