Дробь (математика)

Наглядное представление дроби 3/4

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде ${\displaystyle {\frac {\pm m}{n}}}$ или ${\displaystyle \pm m/n,}$ где ${\displaystyle n\neq 0.}$ Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

• ½,
• 1/2 или ${\displaystyle ^{1}\!/_{2}}$ (наклонная черта называется «солидус»[2]),
• выключная формула: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$,
• строчная формула: ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$.

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби ${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$, ${\displaystyle {\frac {7}{8}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ — правильные, в то время как ${\displaystyle {\frac {8}{3}}}$, ${\displaystyle {\frac {9}{5}}}$, ${\displaystyle {\frac {2}{1}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{1}}}$ — неправильные. Всякое отличное от нуля целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем ${\displaystyle 1}$.

Дробь, записанная в виде неотрицательного целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби (с добавлением спереди знака «минус» для отрицательных чисел). В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, ${\displaystyle 2{\frac {3}{7}}=2+{\frac {3}{7}}={\frac {14}{7}}+{\frac {3}{7}}={\frac {17}{7}}}$.

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\bigg /}{\frac {1}{3}}}$ или ${\displaystyle {\frac {1/2}{1/3}}}$ или ${\displaystyle {\frac {12{\frac {3}{4}}}{26}}}$.

Вообще говоря, знак дроби в таком обобщённом смысле применяется не только для дробей, но и для компактного обозначения деления, причём даже не только целых чисел, но и любых действительных и комплексных чисел, функций, многочленов и тому подобных операндов различных операций деления.

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби, в которой знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число, степень десяти (напр. 100, 1000 и др). Она выглядит следующим образом (знак ${\displaystyle +}$ вне арифметических выражений обычно опускается):

${\displaystyle \pm a_{1}a_{2}\dots a_{n}{,}b_{1}b_{2}\dots }$

Часть записи, которая стоит до запятой, в случае неотрицательной дроби является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Пример: десятичная дробь ${\displaystyle 3{,}1415926}$ в формате обыкновенной дроби равна ${\displaystyle {\frac {31415926}{10000000}}}$.

Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333… представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ….

Десятичные дроби также могут быть выражены в экспоненциальном представлении с отрицательными показателями, например запись 6,023 × 10⁻⁷, означает 0,0000006023 (умножение на ${\displaystyle 10^{-7}}$, или, что то же, деление на ${\displaystyle 10^{7},}$ перемещает знак запятой на 7 разрядов влево).

Другой вид дроби представляет собой процент (лат. Pro Centum — «на сто»), представленный символом %, в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51 % означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311 % равняется 311/100, а −27 % равняется −27/100.

Схожее понятие промилле или частей на тысячу подразумевает знаменатель 1000. Распространенным обозначением частей на миллион является (англ. parts per million — ppm), Например 75 ppm, означает, что пропорция составляет 75 / 1000000.

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ и ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$. Порядок действий:

• Находим наименьшее общее кратное знаменателей: ${\displaystyle M=[b,d]}$.
• Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на ${\displaystyle M/b}$.
• Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на ${\displaystyle M/d}$.

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны ${\displaystyle M}$). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве ${\displaystyle M}$ любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем ${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$ и ${\displaystyle {\frac {4}{5}}}$. ${\displaystyle \mathrm {HOK} (4,5)=20}$. Приводим дроби к знаменателю ${\displaystyle 20}$.

${\displaystyle {\frac {3}{4}}={\frac {15}{20}};\quad {\frac {4}{5}}={\frac {16}{20}}}$

Следовательно, ${\displaystyle {\frac {3}{4}}<{\frac {4}{5}}}$

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ + ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ = ${\displaystyle {\frac {3}{6}}}$ + ${\displaystyle {\frac {2}{6}}}$ = ${\displaystyle {\frac {5}{6}}}$

НОК знаменателей (здесь ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 3}$) равно ${\displaystyle 6}$. Приводим дробь ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ к знаменателю ${\displaystyle 6}$, для этого числитель и знаменатель надо умножить на ${\displaystyle 3}$.
Получилось ${\displaystyle {\frac {3}{6}}}$. Приводим дробь ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на ${\displaystyle 2}$. Получилось ${\displaystyle {\frac {2}{6}}}$.
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ — ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ = ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$ — ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ = ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$

НОК знаменателей (здесь ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle 4}$) равно ${\displaystyle 4}$. Приводим дробь ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ к знаменателю ${\displaystyle 4}$, для этого надо числитель и знаменатель умножить на ${\displaystyle 2}$. Получаем ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$.

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\cdot 3={\frac {6}{3}}=2}$

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

${\displaystyle {\frac {5}{8}}\cdot {\frac {2}{5}}={\frac {10}{40}}={\frac {1}{4}}.}$

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}:{\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}},\quad b,c,d\neq 0.}$

Например:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}:{\frac {1}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {3}{1}}={\frac {3}{2}}.}$

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень:

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}},b\neq 0.}$

Пример:

${\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {2^{3}}{3^{3}}}={\frac {8}{27}}}$

Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь соответствующий корень из числителя и знаменателя:

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}},b\neq 0.}$

Пример:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {64}{125}}}={\frac {\sqrt[{3}]{64}}{\sqrt[{3}]{125}}}={\frac {4}{5}}.}$

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}={\frac {5}{10}}=0{,}5}$

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0{,}142857142857142857\dots =0{,}(142857)}$ — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

${\displaystyle 71{,}1475=71+{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {1475}{10000}}=71{\frac {59}{400}}}$

Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена как обыкновенная. Исключением являются периодические десятичные дроби, для которых такое представление всегда возможно[3].

Пример (см. также Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную). Преобразуем периодическую дробь ${\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3\ 142857\ 142857\ 142857\dots }$ в обыкновенную дробь. ${\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1\cdot 0{,}(142857).}$ Обозначим ${\displaystyle x=0{,}(142857)}$, тогда ${\displaystyle 1000000\cdot x=142857+x,}$ откуда: ${\displaystyle 999999x=142857,}$ или: ${\displaystyle x={\frac {142857}{999999}}={\frac {1}{7}}.}$ В итоге получаем: ${\displaystyle 1{,}3(142857)=1{,}3+0{,}1x=1{,}3+0{,}1\cdot {\frac {1}{7}}.={\frac {13}{10}}+{\frac {1}{70}}={\frac {92}{70}}=1{\frac {11}{35}}.}$