Московский математический папирус

Задача № 10 Московского математического папируса, связанная с вычислением поверхности корзины с отверстием 4,5, может сводиться к нахождению площади либо поверхности полушария, либо боковой поверхности полуцилиндра, либо площади полукруга[3]. Возможно, это первый известный в истории случай определения площади кривой поверхности, требующий использования числа π, которое египтяне определяли как ${\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16}$, тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. Таким образом, Московский математический папирус свидетельствует о том, что египтяне могли с большей точностью вычислять площади треугольника, трапеции, прямоугольника, круга, а также объёмы пирамиды, призмы, параллелепипеда, цилиндра и усечённой пирамиды.

Наибольшее внимание египтологов и математиков привлекает четырнадцатая задача Московского математического папируса. Само её существование указывает на то, что древние египтяне умели находить объёмы не только тетраэдра, но и усечённой пирамиды.

Вычисление усечённой пирамиды. Скажут тебе: вот усечённая пирамида высотой 6, стороной внизу 4, а вверху — 2.[Комм. 1] Исчисли квадрат 4. Это будет 16. Удвой 4[Комм. 2]. Это будет 8. Исчисли квадрат 2. Это будет 4. Сложи вместе эти 16, 8 и 4. Это будет 28. Исчисли 1/3 от 6. Это будет 2. Исчисли 28 дважды[Комм. 3]. Это будет 56. Смотри: это 56. Ты нашёл правильно.

Современное описание условия данной задачи: дана усечённая пирамида с квадратными основаниями, стороны которых a и b равны соответственно 4 и 2 единицы, при высоте h равной 6 единиц. Необходимо найти объём этого тела.

Нам известно, что объём усеченной пирамиды определяется по формуле:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(S_{1}+{\sqrt {S_{1}S_{2}}}+S_{2})}$, где ${\displaystyle S_{1},S_{2}}$  — площади оснований.

В случае усечённой пирамиды с квадратными основаниями, она сводится к

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2}).}$

Путём соответствующих вычислений автор папируса определил, что объём пирамиды составляет:

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot 6\cdot (4^{2}+4\cdot 2+2^{2})=56.}$

Способ вывода верной формулы древними египтянами остаётся неизвестным.

Между тем, в Вавилоне для решения этой же задачи применили бы неточную формулу: ${\displaystyle V={\frac {1}{2}}h(a^{2}+b^{2}).}$[5]