Египетский математический кожаный свиток

Кожаный свиток составлен для вычисления египетских дробей и содержит 26 сумм аликвотных дробей (то есть дробей с числителем 1), которые равны другой аликвотной дроби. Суммы перечислены в двух столбцах, в следующих двух столбцах содержатся точно такие же суммы[2].

Египетский математический кожаный свиток

Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3	Столбец 4
${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}}$

Из 26 перечисленных сумм 10 — это числа Ока Гора: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$ (дважды), ${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$ (трижды), ${\displaystyle {\frac {1}{16}}}$ (дважды), ${\displaystyle {\frac {1}{32}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{64}}}$, преобразованные из египетских дробей. Есть ещё семь сумм, в которых чётные знаменатели пересчитаны из египетских дробей: ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$ (указано дважды, но единожды неверно), ${\displaystyle {\frac {1}{10}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{12}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{14}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{20}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{30}}}$. Например, три преобразования ${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$ следовали за одним или двумя масштабными множителями, как альтернативой:

1. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}\times {\frac {3}{3}}={\frac {3}{24}}={\frac {2+1}{24}}={\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}}$
2. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}\times {\frac {5}{5}}={\frac {5}{40}}={\frac {4+1}{40}}={\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}}$
3. ${\displaystyle {\frac {1}{8}}\times {\frac {25}{25}}={\frac {25}{200}}={\frac {8+17}{200}}={\frac {1}{25}}+({\frac {17}{200}}\times {\frac {6}{6}})={\frac {1}{25}}+{\frac {102}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {80+16+6}{1200}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}}$

Наконец, 9 сумм с нечётными знаменателями переведены из египетских дробей: ${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ (дважды), ${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{11}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{13}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$.

Эксперты Британского музея не нашли ни введения, ни описания того, как и почему были рассчитаны серии эквивалентных долей[3]. Эквивалентные дроби связаны с ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{4}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$ и ${\displaystyle {\frac {1}{16}}}$. Произошла ошибка, связанная с последней ${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$ серией дробей. Серия ${\displaystyle {\frac {1}{15}}}$ названа равной ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$. Другая серьёзная ошибка связана с ${\displaystyle {\frac {1}{13}}}$, которую эксперты 1927 года не попытались решить.

Оригинальные математические тексты никогда не объясняют, откуда берутся вычисления и формулы. То же касается и кожаного свитка. Учёные предположили, что методы древних египтян, возможно, использовались для построения таблицы дробей в свитке, Папирусе Ахмеса и Математическом папирусе из Лахуна. Оба типа таблиц использовались, чтобы помочь при вычислениях дробей и составления единиц измерения[2].

В кожаном свитке имеются группы схожих дробей. Например, строки 5 и 6 легко объединяются в уравнение ${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}}$. Легко вывести строки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 и 26, разделив это уравнение на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 и 32 соответственно[4].

Некоторые проблемы поддаются решению с помощью алгоритма, который включает умножение числителя и знаменателя на один и тот же член, а затем дальнейшее деление полученного уравнения:

${\displaystyle {\frac {1}{pq}}={\frac {1}{N}}\times {\frac {N}{pq}}}$

Этот метод приводит к решению дроби ${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$ из свитка, где N = 25 (с использованием современных математических обозначений)[5]:

${\displaystyle {\frac {1}{8}}={\frac {1}{25}}\times {\frac {25}{8}}={\frac {1}{5}}\times {\frac {25}{40}}={\frac {1}{5}}\times \left({\frac {3}{5}}+{\frac {1}{40}}\right)={\frac {1}{5}}\times \left({\frac {1}{5}}+{\frac {2}{5}}+{\frac {1}{40}}\right)={\frac {1}{5}}\times \left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{40}}\right)={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}}$

С момента прочтения свитка в 1927 году он расценивается как обучающее пособие писцам. Писец тренировался в преобразовании рациональных чисел 1/p и 1/pq в равные дроби.

Следующая хронология показывает несколько этапов, которые ознаменовали недавний прогресс в познании расчётов свитка, связанного с таблицей 2/n Математического папируса Ринда.

• 1895 — Гульч предположил, что все серии 2/p папируса закодированы кратными частями[6].
• 1927 — Гланвилл пришёл к выводу, что арифметика кожаного свитка сводилась к сложению[7].
• 1929 — по мнению Фогеля, кожаный свиток важнее папируса Ринда, несмотря на то, что содержит лишь 25 рядов дробей[8].
• 1950 — Брёйнс независимо подтверждает выводы Гульча[9].
• 1972 — Джиллингс нашёл решение наиболее простой проблемы папируса Ринда — серия 2/pq[10].
• 1982 — Кнорр идентифицирует дроби папируса Ринда 2/35, 2/91 и 2/95 как исключения из 2/pq[11].
• 2002 — Гарднер выделяет пять отдельных структур свитка[5].

Египетские математические тексты:

• Московский математический папирус
• Математический папирус из Лахуна
• Берлинский папирус 6619
• Деревянная табличка Ахмима
• Папирус Райзнера
• Папирус Ахмеса

Другое:

• Книга Абака
• Сильвия Кушу

• EMLR Egyptian Mathematical Leather
• Теоретические (ожидаемые) контрольные числа
• RMP 35 - 38 плюс RMP 66