0,(9)

Рациональная дробь (например, ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$) в десятичном виде может быть представлена как конечная либо периодическая десятичная дробь. Выполнив деление столбиком целого числа 1 на целое число 3, получим число 0,333… (в десятичной записи), в котором цифры 3 повторяются бесконечно:

¹⁄₃ = 0,333…

Умножая последнее на число 3 заметим, что умножение каждой тройки на 3 даёт девятку:

0,333… × 3 = 0,999…

Заменив 0,333… на ¹⁄₃, получим:

¹⁄₃ × 3 = 0,999…;

1 = 0,999…[1].

${\displaystyle 1=3\cdot {\frac {1}{3}}=3\cdot 0{,}333\ldots =0{,}999\ldots =0{,}(9);}$

${\displaystyle 1=9\cdot {\frac {1}{9}}=9\cdot 0{,}111\ldots =0{,}999\ldots =0{,}(9).}$

При умножении десятичного числа на число 10 цифры не меняются, запятая передвигается на одну цифру вправо:

0,999… × 10 = 9,999…

Произведение 9,999… на 9 больше, чем множитель 0,999…; убедимся в этом, отняв 0,999… от 9,999…; дробная часть разности будет равна нулю, так как 9-9 = 0 для каждого разряда дробной части:

9,999… - 0,999… = 9,000… = 9.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=0{,}999\ldots$ ;\\10x&=9{,}999\ldots ;\\10x-x&=9{,}999\ldots -0{,}999\ldots ;\\9x&=9;\\x&=1;\\0{,}999\ldots &=1.\end{aligned}}}

Так как два числа равны, если их разность равна нулю, то равенство

1 = 0,(9)

будет верно, если разность чисел 1 и 0,(9) будет равна нулю:

1 - 0,(9) = 0.

Докажем последнее равенство. Сначала найдём разность 1 и 0,9 (первая итерация):

1 - 0,9 = 0,1.

Затем найдём разность 1 и 0,99 (вторая итерация):

1 - 0,99 = 0,01.

После чего по той же схеме определим разность 1 и 0,999 (третья итерация):

1 - 0,999 = 0,001.

И так далее.

${\displaystyle {\begin{aligned}1&-0{,}9&&=0{,}1\\1&-0{,}99&&=0{,}01\\1&-0{,}999&&=0{,}001\\\ldots \\\end{aligned}}}$

Для каждой новой итерации значение вычитаемого будет стремиться к 0,(9), а разность — к нулю. В общем случае данную ситуацию можно записать следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}1-0{,}\underbrace {99\ldots 9} _{n}&=0{,}\underbrace {00\ldots 0} _{m=n-1}1,\\\end{aligned}}}$

где:

• ${\displaystyle n}$ — номер итерации (количество девяток после запятой вычитаемого);
• ${\displaystyle m}$ — количество нулей между запятой и единицей разности.

Для нахождения разности 1-0,(9) положим значение номера итерации равным бесконечности:

${\displaystyle n=\infty .}$

Тогда

${\displaystyle m=n-1=\infty ,}$

то есть, формально, в дробной части искомой разности имеется бесконечное количество нолей, после которых следует единица:

${\displaystyle 1-0{,}(9)=[0{,}(0)1]}$[2].

Если после запятой находится бесконечное множество цифр (в данном случае — нулей), то в следующий после нулей разряд невозможно вписать больше ни одной цифры, поскольку такого разряда не существует. В данном случае дробная часть разницы будет состоять из бесконечного количества нулей, а, следовательно, единицы после нулей не будет.

Если рассматривать множество гиперреальных чисел, то единицу после бесконечности нулей можно считать бесконечно малым числом, однако так как мы рассматриваем вещественные числа, то в таких случаях, например в нестандартном анализе, используют функцию, округляющую до ближайшего вещественного, меньшего по модулю.

Таким образом разность будет представлена в виде чистой периодической дроби с нулевой целой частью и периодом, состоящим из одного нуля: 0,(0), что является представлением числа 0 в виде периодической десятичной дроби:

${\displaystyle 0{,}(0)=0.}$

Таким образом,

${\displaystyle 1-0{,}(9)=0,}$

а значит

${\displaystyle 1=0{,}(9).}$

Число 0,999… в общем виде можно записать как последовательность цифр ${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}b_{5}\dots ,}$ где ${\displaystyle b_{i}}$ — цифра, стоящая в i‑ом разряде.

В соответствии с определением десятичной системы счисления, посчитаем сумму ряда

${\displaystyle b_{0}.b_{1}b_{2}b_{3}b_{4}\ldots =b_{0}+b_{1}({\tfrac {1}{10}})+b_{2}({\tfrac {1}{10}})^{2}+b_{3}({\tfrac {1}{10}})^{3}+b_{4}({\tfrac {1}{10}})^{4}+\cdots .}$

Применив теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии[3]:

если ${\displaystyle |r|<1,}$ то ${\displaystyle ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ={\frac {ar}{1-r}},}$ где ${\displaystyle r=\textstyle {\frac {1}{10}}}$ — радиус сходимости (знаменатель прогрессии),

получим:

${\displaystyle 0.999\ldots =9({\tfrac {1}{10}})+9({\tfrac {1}{10}})^{2}+9({\tfrac {1}{10}})^{3}+\cdots ={\frac {9({\tfrac {1}{10}})}{1-{\tfrac {1}{10}}}}=1.}$

Такое доказательство (об эквивалентности чисел 10 и 9,999…) было опубликовано в 1770 году Леонардом Эйлером в издании «Элементы алгебры»[4].

Единичные интервалы, (0.3, 0.33, 0.333, …) сходящиеся к 1 (в четверичной системе счисления)

Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. В выпущенном в 1811 году учебнике «An Introduction to Algebra» также используется геометрическая прогрессия для числа 0,(9)[5]. В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение о том, что сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм[6].

Последовательность (x₀, x₁, x₂, …) имеет предел, равный x, тогда и только тогда, когда величина ${\displaystyle \left|x-x_{n}\right|}$ бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел[7]:

${\displaystyle 0.999\ldots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\ldots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1.}$

Последнее преобразование (${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=0}$) выполняется на основании того, что вещественные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.