Геометрическая прогрессия

Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ , $\ldots$ (члены прогрессии), в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на определённое число $q$ (знаменатель прогрессии). При этом $b_{1}\neq 0,q\neq 0;b_{n}=b_{n-1}q,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$ [1].

Описание

Любой член геометрической прогрессии может быть вычислен по формуле

b_{n}=b_{1}q^{n-1}.

Если $b_{1}>0$ и $q>1$ , прогрессия является возрастающей последовательностью, если $0<q<1$ , — убывающей последовательностью, а при $q<0$ — знакочередующейся[2], при $q=1$ — стационарной.

Своё название прогрессия получила по своему характеристическому свойству:

|b_{n}|={\sqrt {b_{n-1}b_{n+1}}},

то есть модуль каждого члена равен среднему геометрическому его соседей.

Примеры

Получение новых квадратов путём соединения середин сторон предыдущих квадратов

Последовательность площадей квадратов, где каждый следующий квадрат получается соединением середин сторон предыдущего — бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2. Площади получающихся на каждом шаге треугольников также образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем 1/2, сумма которой равна площади начального квадрата[3]^:8—9.
Геометрической является последовательность количества зёрен на клетках в задаче о зёрнах на шахматной доске.
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — геометрическая прогрессия со знаменателем 2 из тринадцати членов.
50; 25; 12,5; 6,25; 3,125; … — бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем 1/2.
4; 6; 9 — геометрическая прогрессия из трёх элементов со знаменателем 3/2.
$\pi$ , $\pi$ , $\pi$ , $\pi$ — стационарная геометрическая прогрессия со знаменателем 1 (и стационарная арифметическая прогрессия с разностью 0).
3; −6; 12; −24; 48; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −2.
1; −1; 1; −1; 1; … — знакочередующаяся геометрическая прогрессия со знаменателем −1.

Свойства

Формула знаменателя геометрической прогрессии:

q={\frac {b_{n+1}}{b_{n}}}

Доказательство

По определению геометрической прогрессии.

Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Доказательство

$\log(b_{n})=\log(b_{1}q^{n-1})=\log(b_{1})+(n-1)\cdot \log(q)$ Формула общего члена арифметической прогрессии: $a_{n}=a_{1}+(n-1)\cdot d$ .
В нашем случае
$a_{1}=\log(b_{1})$ ,
$d=\log(q)$ .

$b_{n}^{2}=b_{n-i}b_{n+i}$ , если $1<i<n$ .

Доказательство

$b_{n}^{2}=b_{n}b_{n}=b_{1}q^{n-1}b_{1}q^{n-1}=b_{1}q^{n-1-i}b_{1}q^{n-1+i}=b_{n-i}b_{n+i}.$

Произведение первых n членов геометрической прогрессии можно рассчитать по формуле
$P_{n}=(b_{1}\cdot b_{n})^{\frac {n}{2}}.$

Доказательство

$P_{n}=\prod _{i=1}^{n}b_{i}=\prod _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}^{n}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}.$ Раскроем произведение $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}$ : $\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=q^{0}\cdot q^{1}\cdot q^{2}\cdot \ldots \cdot q^{i-1}=q^{0+1+2+\ldots +(i-1)}.$ Выражение $0+1+2+\ldots +(n-1)$ представляет собой арифметическую прогрессию с $a_{1}=0$ и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна $S_{n}=n\cdot {\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}=n\cdot {\frac {0+(n-1)}{2}}.$ Откуда $P_{n}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}\prod _{i=1}^{n}q^{i-1}=b_{1}^{\frac {n}{2}}b_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=\left(b_{1}b_{1}q^{n-1}\right)^{\frac {n}{2}}=\left(b_{1}b_{n}\right)^{\frac {n}{2}}.$

Произведение членов геометрической прогрессии начиная с k-го члена, и заканчивая n-м членом, можно рассчитать по формуле
$P_{k,n}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Доказательство

$P_{k,n}=\prod _{i=k}^{n}b_{i}={\frac {\prod _{i=1}^{n}b_{i}}{\prod _{j=1}^{k-1}b_{j}}}={\frac {P_{n}}{P_{k-1}}}.$

Сумма $n$ первых членов геометрической прогрессии
$S_{n}={\begin{cases}\sum \limits _{i=1}^{n}b_{i}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}={\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}},&{\mbox{if }}q\neq 1\\\\nb_{1},&{\mbox{if }}q=1\end{cases}}$

Доказательство

Доказательство через сумму:
$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=2}^{n}b_{1}q^{i-2}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n-1}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}.$

То есть $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}+q\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}-b_{1}q^{n}$ или

$\left(1-q\right)\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}=b_{1}-b_{1}q^{n}.$

Откуда $\sum _{i=1}^{n}b_{1}q^{i-1}={\frac {b_{1}-b_{1}q^{n}}{1-q}}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$
Доказательство индукцией по $n$ .
Пусть $S_{n}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.$

При $n=1$ имеем: $S_{1}=\sum _{i=1}^{1}b_{i}=b_{1}=b_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q}}.$

При $n\rightarrow n+1$ имеем: $S_{n+1}=\sum _{i=1}^{n+1}b_{i}=\sum _{i=1}^{n}b_{i}+b_{n+1}=b_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b_{1}q^{n}=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}\right)=b_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.$

Сумма всех членов убывающей прогрессии:

\left|q\right|<1

, то

b_{n}\to 0

при

n\to +\infty

, и

S_{n}\to {\frac {b_{1}}{1-q}}

при

n\to +\infty

.

Доказательство

$\lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}{\frac {q^{n}}{1-q}}\right)={\frac {b_{1}}{1-q}}-b_{1}\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}.$ Если $\left|q\right|<1,$ то $q^{n}\to 0$ при $n\to \infty .$ Поэтому $\lim _{n\to \infty }{\frac {q^{n}}{1-q}}=0.$ Следовательно $\lim _{n\to \infty }S_{n}={\frac {b_{1}}{1-q}}.$

См. также

Примечания

Геометрическая прогрессия на mathematics.ru
Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Геометрическая прогрессия на mathematics.ru

[2] Геометрическая прогрессия // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

[3] Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.