Арифметико-геометрическая прогрессия

Рассмотрим исходное соотношение: ${\displaystyle u_{n+1}=qu_{n}+d}$ при ${\displaystyle n=1,2,...}$

Пусть в этом соотношении ${\displaystyle q\neq 1}$ и ${\displaystyle d\neq 0}$. Прибавив к обеим частям выражение ${\displaystyle {\frac {d}{q-1}}}$, получаем

${\displaystyle u_{n+1}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}$

${\displaystyle u_{n}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{n-1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}$

${\displaystyle \ldots }$

${\displaystyle u_{3}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}$

${\displaystyle u_{2}+{\dfrac {d}{q-1}}=q\left(u_{1}+{\dfrac {d}{q-1}}\right)}$

Перемножив указанные равенства и сократив одинаковые сомножители (или подставив вместо скобок в правой части левую часть следующего по порядку уравнения), получим явную формулу члена арифметико-геометрической прогрессии:

${\displaystyle u_{n+1}=q^{n}(u_{1}+{\frac {d}{q-1}})-{\frac {d}{q-1}}}$

• Арифметико-геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью второго порядка и задаётся уравнением:

${\displaystyle u_{n+1}=(q+1)u_{n}-qu_{n-1}}$

• Разность ${\displaystyle d}$ арифметико-геометрической прогрессии определяется по формуле

${\displaystyle d={\frac {u_{n}^{2}-u_{n-1}u_{n+1}}{u_{n}-u_{n-1}}}}$

• Последовательность ${\displaystyle a_{n}=u_{n+1}-u_{n}}$ является геометрической прогрессией с тем же знаменателем ${\displaystyle q}$.

• Последовательность частичных сумм членов арифметико-геометрической прогрессии является возвратной последовательностью третьего порядка и задаётся уравнением:

${\displaystyle S_{n+1}=(q+2)S_{n}-(2q+1)S_{n-1}+qS_{n-2}}$

• Если последовательность частичных сумм является арифметико-геометрической прогрессией, то сама последовательность является геометрической прогрессией.