Арифметическая прогрессия

${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$

${\displaystyle a_{2}=a_{1}+d}$

${\displaystyle a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+d+d=a_{1}+2d}$

${\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+2d+d=a_{1}+3d}$

${\displaystyle a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+3d+d=a_{1}+4d}$

Заметив закономерность, делаем предположение, что ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$. С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$:

База индукции ${\displaystyle (n=1)}$ :

${\displaystyle a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}}$ — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при ${\displaystyle n=k}$, то есть ${\displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d}$. Докажем истинность утверждения при ${\displaystyle n=k+1}$:

${\displaystyle a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd}$

Итак, утверждение верно и при ${\displaystyle n=k+1}$. Это значит, что ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$ для всех ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Поскольку ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ — арифметическая прогрессия, то для ${\displaystyle n\geqslant 2}$ выполняются соотношения:

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}$

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}-d}$.

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$.

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$. Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду ${\displaystyle a_{n+1}-a_{n}=a_{n}-a_{n-1}}$. Поскольку соотношения верны при всех ${\displaystyle n\geqslant 2}$, с помощью математической индукции покажем, что ${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}$.

База индукции ${\displaystyle (n=2)}$ :

${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}}$ — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при ${\displaystyle n=k}$, то есть ${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}$. Докажем истинность утверждения при ${\displaystyle n=k+1}$:

${\displaystyle a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}$

Но по предположению индукции следует, что ${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}}$. Получаем, что ${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{k}-a_{k-1}=a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}}$

Итак, утверждение верно и при ${\displaystyle n=k+1}$. Это значит, что ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}},n\geqslant 2\Rightarrow a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}}$.

Обозначим эти разности через ${\displaystyle d}$. Итак, ${\displaystyle a_{2}-a_{1}=a_{3}-a_{2}=\ldots =a_{n}-a_{n-1}=a_{n+1}-a_{n}=d}$, а отсюда имеем ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$ для ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Поскольку для членов последовательности ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\ldots }$ выполняется соотношение ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$, то это есть арифметическая прогрессия.

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_{n}}$

${\displaystyle S_{n}=a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+\ldots +a_{3}+a_{2}+a_{1}}$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})+(a_{2}+a_{n-1})+(a_{3}+a_{n-2})+\ldots +(a_{n-2}+a_{3})+(a_{n-1}+a_{2})+(a_{n}+a_{1})}$

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде ${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=1,2,\ldots ,n}$. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1}=a_{1}+(i-1)d+a_{1}+(n-i+1-1)d=2a_{1}+(n-1)d,i=1,2,\ldots ,n}$

Получили, что каждое слагаемое не зависит от ${\displaystyle i}$ и равно ${\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$. В частности, ${\displaystyle a_{1}+a_{n}=2a_{1}+(n-1)d}$. Поскольку таких слагаемых ${\displaystyle n}$, то

${\displaystyle 2S_{n}=(a_{1}+a_{n})\cdot n\Rightarrow S_{n}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}\cdot n}$

Третья формула для суммы получается подстановкой ${\displaystyle 2a_{1}+(n-1)d}$ вместо ${\displaystyle a_{1}+a_{n}}$. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо ${\displaystyle a_{1}+a_{n}}$ в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых ${\displaystyle a_{i}+a_{n-i+1},i=2,3,\ldots ,n}$, так как они все равны между собой.

${\displaystyle {\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}=a^{a_{n}},n\geqslant 2}$

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

${\displaystyle {\sqrt {a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}}={\sqrt {a^{a_{1}+(n-2)d}\cdot a^{a_{1}+nd}}}={\sqrt {a^{2a_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(a^{a_{1}+(n-1)d})^{2}}}=a^{a_{1}+(n-1)d}=a^{a_{n}},n\geqslant 2}$

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то ${\displaystyle a^{a_{1}},a^{a_{2}},a^{a_{3}},\ldots }$ — геометрическая прогрессия. Её знаменатель можно найти, например, из соотношения ${\displaystyle q={\frac {a^{a_{2}}}{a^{a_{1}}}}={\frac {a^{a_{1}+d}}{a^{a_{1}}}}=a^{d}}$.