Числовая последовательность

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
• Последовательность натуральных чисел, кратных 12, является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
• Для всякой подпоследовательности ${\displaystyle (x_{k_{n}})}$ верно, что ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon k_{n}\geqslant n}$.
• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

В предположении о линейной упорядоченности множества ${\displaystyle X}$ элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

• Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества ${\displaystyle X}$, все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

  ${\displaystyle (x_{n})}$ ограниченная сверху ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists M\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant M}$.

• Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества ${\displaystyle X}$, для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

  ${\displaystyle (x_{n})}$ ограниченная снизу ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists m\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant m}$.

• Ограниченная последовательность (ограниченная с обеих сторон последовательность) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

  ${\displaystyle (x_{n})}$ ограниченная ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists m,M\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon m\leqslant x_{n}\leqslant M}$.

• Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

  ${\displaystyle (x_{n})}$ неограниченная ${\displaystyle \Leftrightarrow \forall m,M\in X~\exists n\in \mathbb {N} \colon \left(x_{n}<m\right)\lor \left(x_{n}>M\right)}$.

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

${\displaystyle (x_{n})}$ ограниченная ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists A\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \colon |x_{n}|\leqslant A}$.

• Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
• Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
• Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку.
• У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы.
• Для любого наперёд взятого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ все элементы ограниченной числовой последовательности ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$, начиная с некоторого номера, зависящего от ${\displaystyle \varepsilon }$, лежат внутри интервала ${\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}+\varepsilon \right)}$.
• Если за пределами интервала ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$, то интервал ${\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n},\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}\right)}$ содержится в интервале ${\displaystyle \left(a,b\right)}$.
• Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

• Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю.
• Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности.

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе, а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
• Если ${\displaystyle (x_{n})}$ — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность ${\displaystyle (1/x_{n})}$, которая является бесконечно малой. Если же ${\displaystyle (x_{n})}$ всё же содержит нулевые элементы, то последовательность ${\displaystyle (1/x_{n})}$ всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера ${\displaystyle n}$, и всё равно будет бесконечно малой.
• Если ${\displaystyle (\alpha _{n})}$ — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность ${\displaystyle (1/\alpha _{n})}$, которая является бесконечно большой. Если же ${\displaystyle (\alpha _{n})}$ всё же содержит нулевые элементы, то последовательность ${\displaystyle (1/\alpha _{n})}$ всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера ${\displaystyle n}$, и всё равно будет бесконечно большой.

• Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества ${\displaystyle X}$, имеющая предел в этом множестве.
• Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.
• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
• Если последовательность ${\displaystyle (x_{n})}$ сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность ${\displaystyle (1/x_{n})}$, которая является ограниченной.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают члены другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
• Любую сходящуюся последовательность ${\displaystyle (x_{n})}$ можно представить в виде ${\displaystyle (x_{n})=(a+\alpha _{n})}$, где ${\displaystyle a}$ — предел последовательности ${\displaystyle (x_{n})}$, а ${\displaystyle \alpha _{n}}$ — некоторая бесконечно малая последовательность.
• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка.

Фундаментальная последовательность (сходящаяся в себе последовательность, последовательность Коши) — это последовательность элементов метрического пространства, в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.