Теорема Больцано — Вейерштрасса

Пусть предложена последовательность точек пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$

и пусть эта последовательность ограничена, то есть

${\displaystyle \|x_{k}\|\leqslant C,\;k=1,2,\ldots }$

где ${\displaystyle C>0}$ — некоторое число.

Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность

${\displaystyle x_{k_{1}},x_{k_{2}},\ldots }$

которая сходится к некоторой точке пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности.

Нередко теорему Больцано — Вейерштрасса дополняют следующим предложением.

Если последовательность точек пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ неограничена, то из неё можно выделить подпоследовательность, имеющую предел ${\displaystyle \infty }$.

Для случая ${\displaystyle n=1}$ эту формулировку можно уточнить: из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую пределом бесконечность определенного знака (${\displaystyle +\infty }$ или ${\displaystyle -\infty }$).

Таким образом, всякая числовая последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел в расширенном множестве действительных чисел ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$.

Следующее предложение является альтернативной формулировкой теоремы Больцано — Вейерштрасса.

Всякое ограниченное бесконечное подмножество ${\displaystyle E}$ пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ имеет по крайней мере одну предельную точку в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Более подробно, это означает, что существует точка ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, всякая окрестность ${\displaystyle U_{\varepsilon }(x_{0})}$ которой содержит бесконечное число точек множества ${\displaystyle E}$.

Доказательство эквивалентности двух формулировок теоремы Больцано — Вейерштрасса

${\displaystyle {\bigl (}1\Rightarrow 2{\bigr )}}$ Пусть ${\displaystyle E}$ — ограниченное бесконечное подмножество пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Возьмем в ${\displaystyle E}$ последовательность различных точек

${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$

Поскольку эта последовательность ограничена, в силу первой формулировки теоремы Больцано — Вейерштрасса из неё можно выделить подпоследовательность

${\displaystyle x_{k_{1}},x_{k_{2}},\ldots }$

сходящуюся к некоторой точке ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$. Тогда всякая окрестность точки ${\displaystyle x_{0}}$ содержит бесконечное число точек множества ${\displaystyle E}$.

${\displaystyle {\bigl (}2\Rightarrow 1{\bigr )}}$ Обратно, пусть дана произвольная ограниченная последовательность точек пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ Множество значений ${\displaystyle E}$ данной последовательности ограничено, но может быть как бесконечным, так и конечным. Если ${\displaystyle E}$ конечно, то одно из значений ${\displaystyle a\in E}$ повторяется в последовательности бесконечное число раз. Тогда эти члены образуют стационарную подпоследовательность (т.е. последовательность, все элементы которой совпадают, начиная с некоторого), сходящуюся к точке ${\displaystyle a}$.

Если же множество ${\displaystyle E}$ бесконечно, то в силу второй формулировки теоремы Больцано — Вейерштрасса, существует точка ${\displaystyle x_{0}\in \mathbb {R} ^{n}}$, в любой окрестности которой имеется бесконечное много различных членов последовательности.

Выберем последовательно для ${\displaystyle m=1,2,\ldots }$ точки ${\displaystyle x_{k_{m}}\in U_{1/m}(x_{0})}$, соблюдая при этом условие возрастания номеров:

${\displaystyle k_{1}<k_{2}<\ldots }$

Тогда подпоследовательность ${\displaystyle x_{k_{1}},x_{k_{2}},\ldots }$ сходится к точке ${\displaystyle x_{0}}$.

quod erat demonstrandum

Докажем, что из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Нижеизложенный способ доказательства называется методом Больцано, или методом деления пополам.

Пусть дана ограниченная числовая последовательность

${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots }$

Из ограниченности последовательности следует, что все её члены лежат на некотором отрезке числовой прямой, который обозначим ${\displaystyle [a_{0},b_{0}]}$.

Разделим отрезок ${\displaystyle [a_{0},b_{0}]}$ пополам на два равных отрезка. По крайней мере, один из получившихся отрезков содержит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$.

На следующем шаге повторим процедуру с отрезком ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]}$: разделим его на два равных отрезка и выберем из них тот, на котором лежит бесконечное число членов последовательности. Обозначим его ${\displaystyle [a_{2},b_{2}]}$.

Продолжая процесс, получим последовательность вложенных отрезков

${\displaystyle [a_{0},b_{0}]\supset [a_{1},b_{1}]\supset [a_{2},b_{2}]\supset \ldots }$

в которой каждый последующий является половиной предыдущего и содержит бесконечное число членов последовательности ${\displaystyle \{x_{k}\}}$.

Длины отрезков стремятся к нулю:

${\displaystyle |b_{m}-a_{m}|={\frac {|b_{0}-a_{0}|}{2^{m}}}\to 0}$

В силу принципа вложенных отрезков Коши — Кантора, существует единственная точка ${\displaystyle \xi }$, принадлежащая всем отрезкам:

${\displaystyle a_{m}\leqslant \xi \leqslant b_{m},\;m=0,1,\ldots }$

По построению на каждом отрезке ${\displaystyle [a_{m},b_{m}]}$ лежит бесконечное число членов последовательности. Выберем последовательность

${\displaystyle x_{k_{m}}\in [a_{m},b_{m}],\;m=0,1,2,\ldots }$,

соблюдая при этом условие возрастания номеров:

${\displaystyle k_{0}<k_{1}<\ldots }$

Тогда подпоследовательность ${\displaystyle \{x_{k_{m}}\}}$ сходится к точке ${\displaystyle \xi }$. Это следует из того, что расстояние от ${\displaystyle x_{k_{m}}}$ до ${\displaystyle \xi }$ не превосходит длины содержащего их отрезка ${\displaystyle [a_{m},b_{m}]}$, откуда

${\displaystyle |x_{k_{m}}-\xi |\leqslant |b_{m}-a_{m}|\to 0}$

Теорема Больцано — Вейерштрасса легко обобщается на случай пространства произвольной размерности.

Пусть дана последовательность точек пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{1}=(x_{1}^{(1)},x_{1}^{(2)},\ldots ,x_{1}^{(n)})\\x_{2}=(x_{2}^{(1)},x_{2}^{(2)},\ldots ,x_{2}^{(n)})\\\ldots \\\end{matrix}}}$

(нижний индекс — номер члена последовательности, верхний — номер координаты). Если последовательность точек пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ограничена, то каждая из числовых последовательностей координат:

${\displaystyle x_{1}^{(\nu )},x_{2}^{(\nu )},\ldots }$

также ограничена (${\displaystyle \nu =1,\ldots ,n}$ — номер координаты).

В силу одномерного варианта теоремы Больцано — Вейерштрасса из последовательности ${\displaystyle \{x_{k}\}}$ можно выделить подпоследовательность точек ${\displaystyle \{x_{k_{m}}\}}$, первые координаты которых ${\displaystyle \{x_{k_{m}}^{(1)}\}}$ образуют сходящуюся последовательность. Из полученной подпоследовательности ещё раз выделим подпоследовательность, сходящуюся по второй координате. При этом сходимость по первой координате сохранится в силу того, что всякая подпоследовательность сходящейся последовательности также сходится. И так далее.

После ${\displaystyle n}$ шагов получим некоторую последовательность

${\displaystyle x_{r_{1}},x_{r_{2}},\ldots }$,

являющуюся подпоследовательностью ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$, и сходящуюся по каждой из координат. Отсюда следует, что эта подпоследовательность сходится.