Евклидово пространство

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора ${\displaystyle u}$ определяется как ${\displaystyle {\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}}$ и обозначается ${\displaystyle |\mathbf {u} |.}$[2][3] Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что ${\displaystyle |a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,}$ то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ определяется как ${\displaystyle \arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .}$ Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевые ортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},}$ то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от ${\displaystyle \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} }$ был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство ${\displaystyle \left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.}$ Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: ${\displaystyle \mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .}$ Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция ${\displaystyle d\mathbf {(x,y)} ,}$ или ${\displaystyle \mathbf {|x-y|} ,}$ задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {y} }$ координатного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ задаётся формулой ${\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$

Ортонормированный базис в евклидовом (векторном) пространстве — это базис, состоящий из попарно ортогональных векторов единичной нормы. Ортонормированные базисы наиболее удобны для вычислений. Так, например, скалярное произведение векторов с координатами ${\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}$ и ${\displaystyle (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})}$ в ортонормированном базисе можно вычислять по формуле ${\displaystyle (a,b)=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}.}$ В любом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис. Выбрав в двух евклидовых пространствах ортонормированные базисы и переведя один из них в другой линейным отображением, можно доказать, что любые два евклидовых пространства одинаковой размерности изоморфны[4] (в частности, ${\displaystyle n}$-мерное евклидово пространство изоморфно ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ со стандартным скалярным произведением).

Вектор называется ортогональным подпространству, если он ортогонален всем векторам этого подпространства. Ортогональная проекция вектора ${\displaystyle x}$ на подпространство ${\displaystyle U}$ — это вектор ${\displaystyle h,}$ ортогональный ${\displaystyle U,}$ такой что ${\displaystyle x}$ представим в виде ${\displaystyle u+h,}$ где ${\displaystyle u\in U.}$ Расстояние между концами векторов ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle x}$ является минимальным расстоянием среди расстояний от конца вектора ${\displaystyle x}$ до подпространства ${\displaystyle U.}$ Ортогональная проекция вектора на подпространство всегда существует: для её построения достаточно применить метод ортогонализации Грама — Шмидта к объединению ортонормированного базиса в подпространстве и этого вектора. Ортогональные проекции в пространствах больших размерностей используются, например, в методе наименьших квадратов.

Любой вектор ${\displaystyle x}$ евклидова пространства задаёт линейный функционал ${\displaystyle x^{*}}$ на этом пространстве, определяемый как ${\displaystyle x^{*}(y)=(x,y).}$ Это сопоставление является изоморфизмом между евклидовым пространством и двойственным к нему пространством[5] и позволяет их отождествлять без ущерба для вычислений. В частности, сопряжённые операторы можно рассматривать как действующие на исходном пространстве, а не на двойственном к нему, и определить самосопряжённые операторы как операторы, совпадающие с сопряжёнными к ним. В ортонормированном базисе матрица сопряжённого оператора является транспонированной к матрице исходного оператора, а матрица самосопряжённого оператора является симметричной.