Билинейное отображение

Билинейное отображение — бинарное отображение векторных пространств, линейное по каждому из двух аргументов.

Понятие обобщается до модулей над кольцом: если ${\displaystyle V\displaystyle }$ — левый унитарный ${\displaystyle A}$-модуль, ${\displaystyle W\displaystyle }$ — правый унитарный ${\displaystyle B}$-модуль, ${\displaystyle X\displaystyle }$ — ${\displaystyle (A,B)}$-бимодуль, то ${\displaystyle f\colon V\times W\to X}$ билинейно, если оно линейно по каждому из двух аргументов (${\displaystyle v,v'\in V;\,w,w'\in W;\,a\in A;\,b\in B}$):

${\displaystyle f(v+v',w)=f(v,w)+f(v',w)}$,

${\displaystyle f(av,w)=af(v,w)}$,

${\displaystyle f(v,w+w')=f(v,w)+f(v,w')}$,

${\displaystyle f(v,wb)=f(v,w)b}$.

Эквивалентная формулировка: ${\displaystyle f\colon V\times W\to X}$ билинейно, если определено линейное отображение ${\displaystyle f_{1}:V\to {\text{Hom}}(W,X)}$ (или, что то же самое, определено линейное отображение ${\displaystyle f_{2}:W\to {\text{Hom}}(V,X)}$).

Билинейная форма в наиболее общем случае — билинейное отображение ${\displaystyle V\times W\to A}$, где ${\displaystyle V}$ — левый унитарный ${\displaystyle A}$-модуль, ${\displaystyle W}$ — правый унитарный ${\displaystyle A}$-модуль, а ${\displaystyle A}$ — рассматриваемое как ${\displaystyle (A,A)}$-бимодуль кольцо с единицей. Билинейная операция — линейное по обоим аргументам отображение ${\displaystyle f\colon X\times X\rightarrow X}$, таковыми являются умножения в алгебрах над кольцами, а также различные разновидности умножения матриц.