Неравенство треугольника

Рассмотрим произвольный треугольник ${\displaystyle ABC}$.

Докажем, что ${\displaystyle AC<AB+BC}$.

На продолжении стороны ${\displaystyle AB}$ отложим отрезок ${\displaystyle BD}$ равный стороне ${\displaystyle BC}$. Полученный треугольник ${\displaystyle BCD}$ равнобедренный, значит

${\displaystyle \angle 1=\angle 2}$

(1)

Рассмотрим треугольник ${\displaystyle ADC}$.
В этом треугольнике ${\displaystyle \angle 1}$ — это часть ${\displaystyle \angle ACD}$, поэтому:

${\displaystyle \angle ACD>\angle 1}$

(2)

Учитывая (1), получаем:

${\displaystyle \angle ACD>\angle 2}$

(3)

По теореме о соотношении между углами и сторонами треугольника [1], против большего угла треугольника лежит большая сторона.
Следовательно в треугольнике ${\displaystyle ADC}$ имеет место неравенство:

${\displaystyle AD>AC}$

(4)

Кроме того:

${\displaystyle AD=AB+BD=AB+BC}$

(5)

Из (4) и (5) получаем искомое:

${\displaystyle AC<AB+BC}$

В гильбертовом пространстве, неравенство треугольника является следствием неравенства Коши — Буняковского.

Следствием неравенства треугольника в нормированном и метрическом пространствах являются следующие неравенства:

• ${\displaystyle {\bigl |}\|x\|-\|y\|{\bigr |}\leqslant \|x-y\|,\quad x,y\in X;}$
• ${\displaystyle |\rho (x,y)-\rho (x,z)|\leqslant \rho (y,z),\quad x,y,z\in X.}$

Каждый плоский угол выпуклого трёхгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов.

Обозначим ${\displaystyle \rho (x_{i},x_{j})}$ расстояние между точками ${\displaystyle x_{i}}$ и ${\displaystyle x_{j}}$. Тогда имеет место следующее неравенство: ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+...+\rho (x_{m-1},x_{m})}$. Оно получается последовательным применением неравенства треугольника для трех точек: ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{m})\leqslant \rho (x_{1},x_{2})+\rho (x_{2},x_{3})+\rho (x_{3},x_{m})\leqslant ...}$[2]