Неравенство Коши — Буняковского
Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы. Частный случай неравенства Гёльдера и неравенства Йенсена[1].
Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[2]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.
Формулировка
Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы (коллинеарны, или среди них есть нулевой).
Примеры
- Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:
- В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
где обозначает комплексное сопряжение .
- В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
- В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
- где обозначает ковариацию, а — дисперсию.
- Для двух независимых случайных величин и неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
Способы доказательства
Существует лишь несколько сущностно различных подходов к доказательству неравенства. Однако, ввиду его универсальности, одни и те же приводящие к нему формальные операции можно описывать в разных терминах. Из-за этого некоторые авторы представляют неравенство как имеющее чрезвычайно много доказательств.[3]
Для удобства изложения в данном разделе, когда не указано иное, описываются доказательства только для пространства конечной размерности над , то есть для конечных последовательностей , .
Комбинаторный (через перестановочное неравенство)
Случай с единичным вектором
Пусть . Раскрывая квадрат и делая замену , квадрат суммы можно разбить на блоки следующим образом:
где обозначения соответствуют . Из перестановочного неравенства для двух копий последовательности и перестановок
следует, что каждая из внутренних сумм не превышает .
Общий случай
Если все – целые, то, раскрывая произведения и применяя уже доказанный частный случай для получившихся слагаемых, получим
Делением обоих частей на целые числа можно получить то же неравенство для рациональных , а из непрерывности сложения и умножения следует и обобщение для произвольных вещественных . Это утверждение в точности соответствует неравенству Коши-Буняковского для последовательностей
- .
Поэтому неравенство для произвольных , следует из возможности обратной замены
- .
Идея (на примере дисперсии)
Самая известная реализация этого метода – рассмотрение дисперсии случайной величины. Очевидно, что если величина принимает неотрицательные значения, то её математическое ожидание также будет неотрицательно, поэтому
для любой случайной величины . Благодаря линейности математического ожидания из этого следует, что
Пусть все и . Для случайной величины , которая принимает значение с вероятностью , это неравенство означает, что
то есть
Отсюда неравенство Коши-Буняковского можно получить той же заменой переменных, что и в случае с применением перестановочного неравенства.
Интерпретация и альтернативные формы
После замены переменных математическое ожидание описанной выше величины будет иметь вид
Поэтому вероятностное доказательство, в сущности рассматривает сумму
Из очевидной (ввиду возведения скобки в квадрат) неотрицательности этой суммы выводится соотношение между слагаемыми, получающимися при раскрытии скобки – двое из трёх таких слагаемых сокращаются в одно (различаются лишь на константу) за счёт структуры формулы. Изменяя нормировку (деление на суммы) с помощью внесения множителей под скобки и домножения константы, легко увидеть, что такой подход аналогичен использованию более наглядной суммы
Неравенства с такими суммами, записанные без привязки к вероятностным определениям, остаются корректным и без условия из предыдущего раздела. В частности, для произвольного гильбертова пространства при можно рассмотреть неравенство
а при достаточно домножить на комплексное число вида чтобы свести всё к первому случаю.
Аналогичным способом можно использовать другую, симметричную, сумму, где после раскрытия скобки сокращаются два крайних слагаемых (полученные возведением в квадрат), а не крайнее с центральным:
или, что то же самое,
Кроме вероятностной интерпретации, использование таких сумм может быть описано через оценку дискриминанта квадратного уравнения или неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим.[4]
Прямой (через группировку множителей)
Ещё одна (впрочем, нуждающаяся в инструментарии двух предыдущих) идея состоит в представлении неравенства в виде
Такую форму можно доказать двумя способами:
- сравнивав все слагаемые за один шаг, применив перестановочное неравенство для двух копий набора и перестановки [5];
- сравнивая каждое слагаемое отдельно, применяя неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим для двух переменных , что по сути соответствует рассмотрению суммы квадратов вида или нормы соответствующего вектора в тензорном произведении произвольных гильбертовых пространств.[6]
Применение случая n=2 к суммам
Неравенство можно получить с помощью индукции, шагом которой для перехода от к -ому слагаемому будет применение того же неравенства для двух слагаемых. Предположение индукции для последовательнсотей , даёт неравенство
А из случая для последовательностей , легко видеть, что
Таким образом неравенство доказывается для произвольного индукцией с базой . Базу можно доказать любым из остальных способов (например, через неравенство ).[7] Также для существуют наглядные геометрические доказательства.[8][9]
Литература
- Hui-Hua Wu, Shanhe Wu. Various proofs of the Cauchy-Schwarz inequality (англ.) // Octogon mathematical magazine. — 2009. — Vol. 17, iss. 1. — P. 221–229.
Примечания
- См. доказательство 11 в Wu, 2009
- Bounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.
- Wu, 2009.
- См. доказательства 2 (при ), 5 в Wu, 2009 для первой суммы и доказательства 3, 4, 8 там же для второй.
- См. доказательство 7 в Wu, 2009.
- См. доказательства 1, 6 (для случая ) и 12 (после раскрытия индукции, то есть суммирования различных ) в Wu, 2009.
- См. доказательство 6 в Wu, 2009.
- Обзор доказательств неравенства Коши-Буняковского, (см. геометрические доказательства для на с. 15-18)
- Интерактивная демонстрация геометрического доказательства