Перестановочное неравенство

Перестановочное неравенство, или неравенство об одномонотонных последовательностях, или «транснеравенство», утверждает, что скалярное произведение двух наборов чисел является максимально возможным, если наборы одномонотонны (то есть оба одновременно неубывающие или одновременно невозрастающие), и минимально возможным, если наборы противоположной монотонности (то есть один неубывающий, а другой невозрастающий).

Другими словами, если $x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \dots \leqslant x_{n}$ и $y_{1}\leqslant y_{2}\leqslant \dots \leqslant y_{n}$ , то для произвольной перестановки $\sigma$ чисел $\{1,2,\dots ,n\}$ выполняется неравенство:

x_{1}y_{n}+x_{2}y_{n-1}+\cdots +x_{n}y_{1}\leqslant x_{1}y_{\sigma (1)}+x_{2}y_{\sigma (2)}+\cdots +x_{n}y_{\sigma (n)}\leqslant x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}

В частности, если $y_{i}=x_{i}$ , то $x_{1}x_{\sigma (1)}+\dots +x_{n}x_{\sigma (n)}\leq {x_{1}}^{2}+\dots {x_{n}}^{2}$ независимо от упорядочивания $x_{1},\dots ,x_{n}$ .

Следствием перестановочного неравенства является неравенство Чебышёва для сумм.

Доказательство

Обозначим $V(\sigma )=\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{\sigma (i)}}$ . Для доказательства удобно несколько переформулировать утверждение:

\arg \max \limits _{\sigma \in S_{n}}{V(\sigma )}=\sigma _{0}

Здесь $S_{n}$ — множество всех возможных перестановок, а $\sigma _{0}:\ x\mapsto x$ — тождественная перестановка.

Основная идея доказательства состоит в том, что если $\sigma (i)>\sigma (j)$ для некоторых $i<j$ , то, поменяв местами значения $\sigma (i)$ и $\sigma (j)$ , мы не уменьшим значение суммы $V(\sigma )$ .

Рассмотрим указанную сумму для некоторой перестановки $\sigma \not =\sigma _{0}$ и такой пары $i,j$ . Рассмотрим перестановку, образуемую из $\sigma$ инверсий этой пары.

\sigma ':x\mapsto \left\{{\begin{matrix}\sigma (j),&x=i,\\\sigma (i),&x=j,\\\sigma (x),&x\not \in \{{i,j}\}.\end{matrix}}\right.

По определению,

V(\sigma ')=V(\sigma )-x_{i}y_{\sigma (i)}-x_{j}y_{\sigma (j)}+x_{i}y_{\sigma (j)}+x_{j}y_{\sigma (i)}=V(\sigma )+(x_{j}-x_{i})(y_{\sigma (i)}-y_{\sigma (j)})

Согласно выбору $i,j$ и предположению об упорядоченности $x,y$ , справедливо неравенство $(x_{j}-x_{i})(y_{\sigma (i)}-y_{\sigma (j)})\geq 0$ , так что $V(\sigma ')\geq V(\sigma )$ .

Следовательно, мы можем уменьшать число инверсий, не уменьшая значения $V(\sigma )$ (например, исправляя инверсии в порядке сортировки пузырьком). В итоге такой процесс приведёт к превращению $\sigma$ в $\sigma _{0}$ , так что $V(\sigma )\leq V(\sigma _{0})$ .

Обобщения

Для нескольких перестановок

Пусть даны $s$ упорядоченных последовательностей $x_{1}^{(i)}\leq x_{2}^{(i)}\leq \dots \leq x_{n}^{(i)},\ i=1,\dots ,s$ . Обозначим $V(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{s})=x_{\sigma _{1}(1)}^{(1)}x_{\sigma _{2}(1)}^{(2)}\dots x_{\sigma _{s}(1)}^{(s)}+\dots +x_{\sigma _{1}(n)}^{(1)}x_{\sigma _{2}(n)}^{(2)}\dots x_{\sigma _{s}(n)}^{(s)}$ . Тождественную перестановку по-прежнему будет обозначать как $\sigma _{0}$ .

Тогда $V(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{s})\leq V(\sigma _{0},\dots ,\sigma _{0})$ для любого набора $(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{s})$ .

Доказательство

Доказывается аналогично обычному перестановочному неравенству (частному случаю этого при $s=2$ ).

Не ограничивая общности, будем предполагать, что $\sigma _{1}=\sigma _{0}$ , поскольку иначе можно просто умножить все перестановки на $\sigma _{1}^{-1}$ , не изменив значение суммы.

Если хотя бы одна из перестановок $\sigma _{1},\dots ,\sigma _{s}$ отлична от $\sigma _{0}$ , то для неё (обозначим её $\sigma _{k}$ ) существуют $i<j$ такие, что $\sigma _{k}(i)>\sigma _{k}(j)$ .

Тогда, если во всех перестановках $\sigma$ из набора $(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{s})$ , для которых \sigma (i) > \sigma (j), поменять местами значения $\sigma (i)$ и $\sigma (j)$ , то значение $V$ не уменьшиться, а общее количество инверрсий среди $(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{s})$ станет меньше.

Производя такие действия нужное (конечное) количество раз, придём к набору $(\sigma _{0},\dots ,\sigma _{0})$ , не уменьшив значение $V$ .

Для выпуклых функций

Идея доказательства через пошаговое исправление инверсий применима для более широкого класса случаев, чем просто для скалярного произведения.

Пусть $f$ — выпуклая функция, $x$ и $y$ упорядочены по неубыванию. Тогда

f(x_{1}+y_{\sigma (1)})+\dots +f(x_{n}+y_{\sigma (n)})\leq f(x_{1}+y_{1})+\dots f(x_{n}+y_{n})

Доказательство

По определению выпуклой функции, если $x_{1}<x_{2},\ c>0$ , то $f(x_{1}+c)-f(x_{1})\leq f(x_{2}+c)-f(x_{2})$ , то есть $f(x_{1}+c)+f(x_{2})\leq f(x_{1})+f(x_{2}+c)$ . Подствляя $c=c_{2}-c_{1}$ и прибавляя к обоим $x_{1},x_{2}$ величину $c_{1}$ , получаем $f(x_{1}+c_{2})+f(x_{2}+c_{1})\leq f(x_{1}+c_{1})+f(x_{2}+c_{2})$ . Иными словами, чем больше аргумент, тем больше изгиб функции вверх, и тем более ценнее для максимизации суммы прибавлять большее значение именно туда.

Как и в доказательстве обычного перестановочного неравенства, выберем $i<j$ такие, что $\sigma (i)>\sigma (j)$ .

Тогда, как описано выше, $f(x_{i}+y_{\sigma (i)})+f(x_{j}+y_{\sigma (j)})\leq f(x_{i}+y_{\sigma (j)})+f(x_{j}+y_{\sigma (i)})$ . Это позволяет провести индукцию, аналогичную обычному случаю.

Умножая все значения $f$ на $-1$ , можно вывести аналогичное неравенство, но со знаком в другую сторону, для вогнутых функций.

Следствия

при $f(x)=e^{x}$ (выпуклая функция): обычное перестановочное неравенство для наборов $e^{x_{1}},\dots ,e^{x_{n}}$ и $e^{y_{1}},\dots ,e^{y_{n}}$

при $f(x)=x^{2}$ (выпуклая функция): $\sum \limits _{i}^{n}{(x_{i}^{2}+2x_{i}y_{\sigma (i)}+y_{\sigma (i)}^{2})}\leq \sum \limits _{i}^{n}{(x_{i}^{2}+2x_{i}y_{i}+y_{i}^{2})}$

После сокращения обеих частей на $\sum \limits _{i=1}^{n}{(x_{i}^{2}+y_{i}^{2})}$ , опять получаем обычное перестановочное неравенство.

при $f(x)=\log {x}$ (вогнутая функция): $\sum \limits _{i=1}^{n}{\ln(x_{i}+y_{\sigma (i)})}\geq \sum \limits _{i=1}^{n}{\ln(x_{i}+y_{i})}$

После взятия экспоненты от обеих частей: $\prod _{i=1}^{n}{(x_{i}+y_{\sigma (i)})}\geq \prod _{i=1}^{n}{(x_{i}+y_{i})}$ ;

при $f(x)={\frac {1}{x}}$ (вогнутая функция): $\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}+y_{\sigma (i)}}}\geq \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}+y_{i}}}$

Неудачные попытки обобщения

В 1946 году была опубликована (Scripta Mathematica 1946, 12(2), 164—169) попытка следующего обобщения неравенства:

Для $n\geq 3$ и двух наборов вещественных чисел $x_{1}\leqslant \cdots \leqslant x_{n}$ и $y_{1}\leqslant \cdots \leqslant y_{n}$ ,

x_{1}y_{\sigma (1)}+\cdots +x_{n}y_{\sigma (n)}\leqslant x_{1}y_{\pi (1)}+\cdots +x_{n}y_{\pi (n)}

если число инверсий в перестановке $\pi$ меньше чем в перестановке $\sigma$ .

Однако впоследствии оказалось, что уже при $n=4$ для этого неравенства существуют контрпримеры. Например,

{\textstyle 0\cdot 0+1\cdot 1+2\cdot 10+3\cdot 2=27<31=0\cdot 2+1\cdot 1+2\cdot 0+3\cdot 10}

При $n=3$ это обобщение всегда верно.

Полезные следствия

Перестановочное неравенство интересно тем, что позволяет интуитивно объединить общей основой внешне совершенно непохожие, но очень много применяемые в разных областях математики числовые неравенства.

В этом разделе мы будем рассматривать наборы чисел длины $n$ и подразумевать, что обозначение $x_{i}$ при $i>n$ обозначает $x_{i-n}$ , то есть индексы зациклены.

Неравенство Коши — Буняковского

Согласно перестановочному неравенство, для любого $k$ выполняется $\sum \limits _{i=0}^{n-1}{a_{i}a_{i+k}}\leq \sum \limits _{i=0}^{n-1}{a_{i}^{2}}$ .

Из этого можно вывести важный частный случай неравенства Коши-Буняковского:

$\left({\sum \limits _{i=0}^{n-1}{a_{i}}}\right)^{2}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}\sum \limits _{j=0}^{n-1}{a_{i}a_{j}}=\sum \limits _{i=0}^{n-1}\sum \limits _{j=0}^{n-1}{a_{i}a_{i+j}}\leq \sum \limits _{j=0}^{n-1}{\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}}=n\sum \limits _{i=1}^{n}{a_{i}^{2}}$

Аналогично, разбивая сумму на $n^{k-1}$ частей по всем возможным $(k-1)$ -мерным сдвигам индексов и используя обобщение на несколько перестановок, можно вывести более общее неравенство для целых $k$ :

$\left({\sum \limits _{i=0}^{n-1}{a_{i}}}\right)^{k}\leq n^{k-1}\sum \limits _{i=0}^{n-1}{a_{i}^{k}}$

Общее неравенство Коши-Буняковского

2(a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n})=a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}+b_{1}a_{1}+\dots +b_{n}a_{n}\leq a_{1}^{2}+\dots +a_{n}^{2}+b_{1}^{2}+\dots +b_{n}^{2}

Если нормировать значения $a_{i}$ и $b_{i}$ таким образом, чтобы выполнялось $a_{1}^{2}+\dots +a_{n}^{2}=b_{1}^{2}+\dots +b_{n}^{2}=1$ , то это влечёт неравенство Коши-Буняковского. Для этого достаточно разделить все $a_{i}$ на ${\sqrt {a_{1}^{2}+\dots +a_{n}^{2}}}$ , а все $b_{i}$ на ${\sqrt {b_{1}^{2}+\dots +b_{n}^{2}}}$ . Поскольку неравенство Коши-Буняковского допускает такие умножения без изменения истинности, то это доказывает утверждение.

Квадратичное и арифметическое

Неравенство между средним квадратичным и средним арифметическим элементарно выводимо из доказанного выше частного случая неравенства Коши-Буняковского.

Арифметическое и геометрическое

Неравенство между арифметическим и геометрическим средним гласит, что

{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}

Умножая обе части на $n$ и рассматривая $n$ -ые степени переменных, увидим, что это то же самое, что

nx_{1}\dots x_{n}\leq x_{1}^{n}+\dots x_{n}^{n}

x_{1}x_{2}\dots x_{n-1}x_{n}+x_{2}x_{3}\dots x_{n}x_{1}+\dots +x_{n}x_{1}\dots x_{n-2}x_{n-1}\leq x_{1}^{n}+\dots x_{n}^{n}

Последнее же неравенство легко получить, используя обобщение перестановочного неравенство на несколько перестановок при $\sigma _{k}(i)=i+(k-1)$

Геометрическое и гармоническое

Приведём неравенство к тому же виду, что и предыдущее:

{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}\geq {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots {\frac {1}{x_{n}}}}}

{\frac {1}{x_{1}}}+\dots {\frac {1}{x_{n}}}\geq {\frac {n}{\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}}

Рассматривая $n$ -ые степени переменных, получаем

n\left({\frac {1}{x_{1}}}\right)\dots \left({\frac {1}{x_{n}}}\right)\leq \left({\frac {1}{x_{1}}}\right)^{n}+\dots \left({\frac {1}{x_{n}}}\right)^{n}

Последнее неравенство легко получить прямым применением перестановочного неравенства для нескольких перестановок.

Ссылки

Л. В. Радзивиловский. Обобщение перестановочного неравенства и монгольское неравенство // Математическое Просвещение. — 2006. — № 10.
Yue Kwok Choy, Rearrangement inequalitty

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.