Дисперсия случайной величины

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Обозначается в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или .

Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что вероятность того, что значения случайной величины отстоят от математического ожидания этой случайной величины более чем на стандартных отклонений, составляет менее . В специальных случаях оценка может быть усилена. Так, например, как минимум в 95 % случаев значения случайной величины, имеющей нормальное распределение, удалены от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 99,7 % — не более чем на три.

Определение

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания.

Пусть  — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда дисперсией называется

где символ обозначает математическое ожидание[1][2].

Замечания

  • Если случайная величина дискретная, то

где  — -ое значение случайной величины,  — вероятность того, что случайная величина принимает значение ,  — количество значений, которые принимает случайная величина.

  • Если случайная величина непрерывна, то:
    ,

где  — плотность вероятности случайной величины.

  • В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
  • Дисперсия является вторым центральным моментом случайной величины.
  • Дисперсия может быть бесконечной.
  • Дисперсия может быть вычислена с помощью производящей функции моментов :
  • Дисперсия целочисленной случайной величины может быть вычислена с помощью производящей функции последовательности.
  • Формула для вычисления смещённой оценки дисперсии случайной величины по последовательности реализаций этой случайной величины: имеет вид:
    , где  — выборочное среднее (несмещённая оценка ).
Для получения несмещённой оценки дисперсии случайной величины значение необходимо умножить на . Несмещённая оценка имеет вид:

Свойства

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна:
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: Верно и обратное: если то почти всюду.
  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
    , где  — их ковариация.
  • Для дисперсии произвольной линейной комбинации нескольких случайных величин имеет место равенство:
    , где .
  • В частности, для любых независимых или некоррелированных случайных величин, так как их ковариации равны нулю.
  • Если  — случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то

Условная дисперсия

Наряду с условным математическим ожиданием в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин .

Условной дисперсией случайной величины относительно случайной величины называется случайная величина

Её свойства:

  • Условная дисперсия относительно случайной величины является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно сигма-алгебры, порождённой случайной величиной );
  • Условная дисперсия неотрицательна: ;
  • Условная дисперсия равна нулю тогда и только тогда, когда почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с );
  • Обычная дисперсия также может быть представлена как условная: ;
  • Если величины и независимы, случайная величина является константой, равной .
  • Если  — две числовые случайные величины, то
откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины .

Пример

Пусть случайная величина имеет стандартное непрерывное равномерное распределение на , то есть её плотность вероятности задана равенством

Тогда математическое ожидание квадрата случайной величины равно

,

и математическое ожидание случайной величины равно

Дисперсия случайной величины равна

См. также

Примечания

  1. Колмогоров А. Н. Глава IV. Математические ожидания; §3. Неравенство Чебышева // Основные понятия теории вероятностей. — 2-е изд. М.: Наука, 1974. — С. 63—65. — 120 с.
  2. Боровков А. А. Глава 4. Числовые характеристики случайных величин; §5. Дисперсия // Теория вероятностей. — 5-е изд. М.: Либроком, 2009. — С. 93—94. — 656 с.

Литература

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.