Среднеквадратическое отклонение

Встречаются также синонимы словосочетания среднеквадрати́ческое отклоне́ние, как то́:

• среднее квадрати́ческое отклоне́ние;
• среднеквадрати́чное отклоне́ние;
• квадрати́чное отклоне́ние;
• станда́ртное отклоне́ние;
• станда́ртный разбро́с;
• стандартная неопределённость.

Сам по себе термин среднее квадратическое означает среднее степени 2 (см. ниже).

Среднеквадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины: ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {D[X]}}}$.

Среднеквадратическое отклонение измеряется в единицах измерения самой случайной величины и используется при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

На практике, когда вместо точного распределения случайной величины в распоряжении имеется лишь выборка, стандартное отклонение, как и математическое ожидание, оценивают (выборочная дисперсия), и делать это можно разными способами. Термины «стандартное отклонение» и «среднеквадратическое отклонение» обычно применяют к квадратному корню из дисперсии случайной величины (определённому через её истинное распределение), но иногда и к различным вариантам оценки этой величины на основании выборки.

В частности, если ${\displaystyle x_{i}}$ — i-й элемент выборки, ${\displaystyle n}$ — объём выборки, ${\displaystyle {\bar {x}}}$ — среднее арифметическое выборки (выборочное среднее — оценка математического ожидания величины):

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\ldots +x_{n}),}$

то два основных способа оценки стандартного отклонения записываются нижеследующим образом.

Оценка стандартного отклонения на основании смещённой оценки дисперсии (иногда называемой просто выборочной дисперсией[1]):

${\displaystyle S={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}$

Это в буквальном смысле среднее квадратическое разностей измеренных значений и среднего.

Оценка стандартного отклонения на основании несмещённой оценки дисперсии (подправленной выборочной дисперсии[1], в ГОСТ Р 8.736-2011 — «среднее квадратическое отклонение»):

${\displaystyle S_{0}={\sqrt {{\frac {n}{n-1}}S^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}$

Само по себе, однако, ${\displaystyle S_{0}}$ не является несмещённой оценкой квадратного корня из дисперсии, то есть извлечение квадратного корня «портит» несмещённость.

Обе оценки являются состоятельными[1].

Кроме того, среднеквадратическим отклонением называют математическое ожидание квадрата разности истинного значения случайной величины и её оценки для некоторого метода оценки[2]. Если оценка несмещённая (выборочное среднее — как раз несмещённая оценка для случайной величины), то эта величина равна дисперсии этой оценки.

Среднее значение выборки также является случайной величиной с оценкой среднеквадратичного отклонения[2]

${\displaystyle S_{\bar {x}}=S_{0}/{\sqrt {n}}={\sqrt {{\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}}}.}$

График плотности вероятности нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению.

Правило трёх сигм (${\displaystyle 3\sigma }$) гласит: вероятность того, что любая случайная величина отклонится от своего среднего значения менее чем на ${\displaystyle 3\sigma }$, — ${\displaystyle P(|\xi -E\xi \mid <3\sigma )\geq {\frac {8}{9}}}$.

Практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале ${\displaystyle \left(\mu -3\sigma$ ;\mu +3\sigma \right)} , где ${\displaystyle \mu =E\xi }$ — математическое ожидание случайной величины. Более строго — приблизительно с вероятностью 0,9973 значение нормально распределённой случайной величины лежит в указанном интервале.

Большее значение среднеквадратического отклонения показывает больший разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; меньшее значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Например, у нас есть три числовых множества: {0, 0, 14, 14}, {0, 6, 8, 14} и {6, 6, 8, 8}. У всех трёх множеств средние значения равны 7, а среднеквадратические отклонения, соответственно, равны 7, 5 и 1. У последнего множества среднеквадратическое отклонение маленькое, так как значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения; у первого множества самое большое значение среднеквадратического отклонения — значения внутри множества сильно расходятся со средним значением.

В общем смысле среднеквадратическое отклонение можно считать мерой неопределённости. К примеру, в физике среднеквадратическое отклонение используется для определения погрешности серии последовательных измерений какой-либо величины. Это значение очень важно для определения правдоподобности изучаемого явления в сравнении с предсказанным теорией значением: если среднее значение измерений сильно отличается от предсказанных теорией значений (большое значение среднеквадратического отклонения), то полученные значения или метод их получения следует перепроверить.

На практике среднеквадратическое отклонение позволяет оценить, насколько значения из множества могут отличаться от среднего значения.

Предположим, что интересующая нас группа (генеральная совокупность) это класс из восьми учеников, которым выставляются оценки по 10-бальной системе. Так как мы оцениваем всю группу, а не её выборку, можно использовать стандартное отклонение на основании смещённой оценки дисперсии. Для этого берём квадратный корень из среднего арифметического квадратов отклонений величин от их среднего значения.

Пусть оценки учеников класса следующие:

${\displaystyle 2,\ 4,\ 4,\ 4,\ 5,\ 5,\ 7,\ 9.}$

Тогда средняя оценка равна:

${\displaystyle \mu ={\frac {2+4+4+4+5+5+7+9}{8}}=5}$

Вычислим квадраты отклонений оценок учеников от их средней оценки:

${\displaystyle {\begin{array}{lll}(2-5)^{2}=(-3)^{2}=9&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(5-5)^{2}=0^{2}=0\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(7-5)^{2}=2^{2}=4\\(4-5)^{2}=(-1)^{2}=1&&(9-5)^{2}=4^{2}=16\\\end{array}}}$

Среднее арифметическое этих значений называется дисперсией:

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{8}}=4}$

Стандартное отклонение равно квадратному корню дисперсии:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {4}}=2}$

Эта формула справедлива только если эти восемь значений и являются генеральной совокупностью. Если бы эти данные были случайной выборкой из какой-то большой совокупности (например, оценки восьми случайно выбранных учеников большого города), то в знаменателе формулы для вычисления дисперсии вместо n = 8 нужно было бы поставить n − 1 = 7:

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {9+1+1+1+0+0+4+16}{7}}\approx 4,57}$

и стандартное отклонение равнялось бы:

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {4,57}}\approx 2,14}$

Этот результат называется стандартным отклонением на основании несмещённой оценки дисперсии. Деление на n − 1 вместо n даёт неискажённую оценку дисперсии для больших генеральных совокупностей.

• Дисперсия случайной величины
• Генеральная совокупность
• Выборка
• Вариация (статистика)
• Абсолютное отклонение

• Боровиков В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков. — СПб.: Питер, 2003. — 688 с. — ISBN 5-272-00078-1..