Среднее значение функции

Среднее значение функции — это некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и дифференцируема в интервале ${\displaystyle (a,b)}$, то существует точка ${\displaystyle c}$, принадлежащая интервалу ${\displaystyle (a,b)}$, такая, что ${\displaystyle f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)}$. В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если ${\displaystyle f(x)}$ непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$, а ${\displaystyle \varphi (x)}$ сохраняет постоянный знак, то существует точка ${\displaystyle c}$ из интервала ${\displaystyle (a,b)}$ такая, что

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\varphi (x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}\varphi (x)dx.}$

В частности, если ${\displaystyle \varphi (x)=1}$, то

${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a).}$

Вследствие этого под средним значением функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ обычно понимают величину

${\displaystyle {\overline {f}}={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx.}$

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.