Среднее арифметическое

• Для получения среднего арифметического трёх чисел необходимо сложить их и разделить на 3:

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.}$

• Для получения среднего арифметического четырёх чисел необходимо сложить их и разделить на 4:

${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}.}$

Если существует интеграл от некоторой функции ${\displaystyle f(x)}$ одной переменной, то среднее арифметическое этой функции на отрезке ${\displaystyle [a;b]}$ определяется через определённый интеграл:

${\displaystyle {\overline {f(x)}}_{[a;b]}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx.}$

Здесь для определения отрезка ${\displaystyle [a;b]}$ подразумевается, что ${\displaystyle b\geq a,}$ причём ${\displaystyle b\neq a,}$ чтобы знаменатель не был равен 0.

Хотя среднее арифметическое часто используется в качестве средних значений или центральных тенденций, это понятие не относится к робастной статистике, то есть среднее арифметическое подвержено сильному влиянию «больших отклонений». Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическое может не соответствовать понятию «среднего», а значения среднего из робастной статистики (например, медиана) может лучше описывать центральную тенденцию.

Классическим примером является подсчёт среднего дохода. Арифметическое среднее может быть неправильно истолковано в качестве медианы, из-за чего может быть сделан вывод, что людей с большим доходом больше, чем на самом деле. «Средний» доход истолковывается таким образом, что доходы большинства людей находятся вблизи этого числа. Этот «средний» (в смысле среднего арифметического) доход является выше, чем доходы большинства людей, так как высокий доход с большим отклонением от среднего делает сильный перекос среднего арифметического (в отличие от этого, средний доход по медиане «сопротивляется» такому перекосу). Однако этот «средний» доход ничего не говорит о количестве людей вблизи медианного дохода (и не говорит ничего о количестве людей вблизи модального дохода). Тем не менее если легкомысленно отнестись к понятиям «среднего» и «большинство народа», то можно сделать неверный вывод о том, что большинство людей имеют доходы выше, чем они есть на самом деле. Например, отчёт о «среднем» чистом доходе в Медине, штат Вашингтон, подсчитанный как среднее арифметическое всех ежегодных чистых доходов жителей, даст на удивление большое число — из-за Билла Гейтса. Рассмотрим выборку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Среднее арифметическое равно 3.17, но пять значений из шести ниже этого среднего.

Если числа перемножать, а не складывать, нужно использовать среднее геометрическое, а не среднее арифметическое. Наиболее часто этот казус случается при расчёте окупаемости инвестиций в финансах.

Например, если акции в первый год упали на 10 %, а во второй год выросли на 30 %, тогда вычислять «среднее» увеличение за эти два года как среднее арифметическое (−10 % + 30 %) / 2 = 10 % некорректно, а правильное среднее значение в этом случае дают совокупные ежегодные темпы роста: годовой рост получается около 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

Причина этого в том, что проценты имеют каждый раз новую стартовую точку: 30 % — это 30 % от меньшего, чем цена в начале первого года, числа: если акции в начале стоили $30 и упали на 10 %, они в начале второго года стоят $27. Если акции выросли на 30 %, они в конце второго года стоят $35,1. Арифметическое среднее этого роста 10 %, но, поскольку акции выросли за 2 года всего на $5,1, средний рост в 8,2 % даёт конечный результат $35,1:

$30 × (1 – 0,1) (1 + 0,3) = $30 × (1 + 0,082) (1 + 0,082) = $35,1. Если же использовать таким же образом среднее арифметическое значение 10 %, мы не получим фактическое значение: $30 × (1 + 0,1) (1 + 0,1) = $36.3.

Сложный процент в конце 2 года: 90 % * 130 % = 117 %, то есть общий прирост 17 %, а среднегодовой сложный процент ${\displaystyle {\sqrt {117\%}}\approx 108.2\%}$, то есть среднегодовой прирост 8,2 %.

При расчёте среднего арифметического значений некоторой переменной, изменяющейся циклически (например, фаза или угол), следует проявлять особую осторожность. Например, среднее чисел 1° и 359° будет равно 180°. Этот результат неверен по двум причинам.

• Во-первых, угловые меры определены только для диапазона от 0° до 360° (или от 0 до 2π при измерении в радианах). Таким образом, ту же пару чисел можно было бы записать как (1° и −1°) или как (1° и 719°). Средние значения каждой из пар будут отличаться: ${\displaystyle {\frac {1^{\circ }+(-1^{\circ })}{2}}=0^{\circ }}$, ${\displaystyle {\frac {1^{\circ }+719^{\circ }}{2}}=360^{\circ }}$.
• Во-вторых, в данном случае, значение 0° (эквивалентное 360°) будет геометрически лучшим средним значением, так как числа отклоняются от 0° меньше, чем от какого-либо другого значения (у значения 0° наименьшая дисперсия). Для сравнения:
  • число 1° отклоняется от 0° всего на 1°;
  • число 1° отклоняется от вычисленного среднего, равного 180°, на 179°.

Среднее значение для циклической переменной, рассчитанное по приведённой формуле, будет искусственно сдвинуто относительно настоящего среднего к середине числового диапазона. Из-за этого среднее рассчитывается другим способом, а именно, в качестве среднего значения выбирается число с наименьшей дисперсией (центральная точка). Также вместо вычитания используется модульное расстояние (то есть, расстояние по окружности). Например, модульное расстояние между 1° и 359° равно 2°, а не 358° (на окружности между 359° и 360° = 0° — один градус, между 0° и 1° — тоже 1°, в сумме — 2°).