Статистика

Начало статистической практики относится примерно ко времени возникновения государства. Первой опубликованной статистической информацией можно считать глиняные таблички Шумерского царства (III — II тысячелетия до н. э.).

Сначала под статистикой понимали описание экономического и политического состояния государства или его части. Например, к 1792 году относится определение: «статистика описывает состояние государства в настоящее время или в некоторый известный момент в прошлом». И в настоящее время деятельность государственных статистических служб вполне укладывается в это определение[4].

Однако постепенно термин «статистика» стал использоваться более широко. По Наполеону Бонапарту, «статистика — это бюджет вещей»[5]. Тем самым статистические методы были признаны полезными не только для административного управления, но и для применения на уровне отдельного предприятия. Согласно формулировке 1833 года, «цель статистики заключается в представлении фактов в наиболее сжатой форме»[6]. Во 2-й половине XIX — начале XX веков сформировалась научная дисциплина — математическая статистика, являющаяся частью математики.

В XX веке статистику часто рассматривают прежде всего как самостоятельную научную дисциплину. Статистика есть совокупность методов и принципов, согласно которым проводится сбор, анализ, сравнение, представление и интерпретация числовых данных. В 1954 году академик АН УССР Б. В. Гнеденко дал следующее определение: «Статистика состоит из трёх разделов:

1. сбор статистических сведений, то есть сведений, характеризующих отдельные единицы каких-либо массовых совокупностей;
2. статистическое исследование полученных данных, заключающееся в выяснении тех закономерностей, которые могут быть установлены на основе данных массового наблюдения;
3. разработка приёмов статистического наблюдения и анализа статистических данных». Последний раздел, собственно, и составляет содержание математической статистики[7].

Термин «статистика» употребляют ещё в двух смыслах. Во-первых, в обиходе под «статистикой» часто понимают набор количественных данных о каком-либо явлении или процессе. Во-вторых, статистикой называют функцию от результатов наблюдений, используемую для оценки характеристик и параметров распределений и проверки гипотез.

Типовые примеры раннего этапа применения статистических методов описаны в Библии, в Ветхом Завете. Там, в частности, приводится число воинов в различных племенах. С математической точки зрения дело сводилось к подсчёту числа попаданий значений наблюдаемых признаков в определённые градации.

Сразу после возникновения теории вероятностей (Паскаль, Ферма, XVII век) вероятностные модели стали использоваться при обработке статистических данных. Например, изучалась частота рождения мальчиков и девочек, было установлено отличие вероятности рождения мальчика от 0,5, анализировались причины того, что в парижских приютах эта вероятность не та, что в самом Париже, и так далее.

В 1794 году (по другим данным — в 1795) немецкий математик Карл Гаусс формализовал один из методов современной математической статистики — метод наименьших квадратов[8]. В XIX веке значительный вклад в развитие практической статистики внёс бельгиец Кетле, на основе анализа большого числа реальных данных показавший устойчивость относительных статистических показателей, таких, как доля самоубийств среди всех смертей[9].

Первая треть XX века прошла под знаком параметрической статистики. Изучались методы, основанные на анализе данных из параметрических семейств распределений, описываемых кривыми семейства Пирсона. Наиболее популярным было нормальное распределение. Для проверки гипотез использовались критерии Пирсона, Стьюдента, Фишера. Были предложены метод максимального правдоподобия, дисперсионный анализ, сформулированы основные идеи планирования эксперимента.

Разработанную в первой трети XX века теорию анализа данных называют параметрической статистикой, поскольку её основной объект изучения — это выборки из распределений, описываемых одним или небольшим числом параметров. Наиболее общим является семейство кривых Пирсона, задаваемых четырьмя параметрами. Как правило, нельзя указать каких-либо веских причин, по которым распределение результатов конкретных наблюдений должно входить в то или иное параметрическое семейство. Исключения хорошо известны: если вероятностная модель предусматривает суммирование независимых случайных величин, то сумму естественно описывать нормальным распределением; если же в модели рассматривается произведение таких величин, то итог, видимо, приближается логарифмически нормальным распределением и так далее.

Под статистической группировкой понимают разделение совокупности на группы (интервалы изменения параметра) однородные в каком-либо отношении. Число таких интервалов (групп) рассчитывается по формуле Стёрджеса:

${\displaystyle k=1+3,322\lg n}$,

где k — число интервалов, n — число наблюдений.

Существует три вида группировки: аналитическая, типологическая, структурная.

Аналитическая группировка — позволяет выявить связь между группировками.

Типологическая группировка — разделение исследуемой совокупности на однородные группы.

Структурная группировка — в которой происходит разделение однородной совокупности на группы, по определенному признаку.

Типические группы: максимально однородные внутри и разнородные снаружи. Группировки бывают первичными и вторичными. Первичные группировки получаются в ходе статистических наблюдений. А вторичные осуществляются на основании первичной.

Статисти́ческие ме́тоды — методы анализа статистических данных. Выделяют методы прикладной статистики, которые могут применяться во всех областях научных исследований и любых отраслях народного хозяйства, и другие статистические методы, применимость которых ограничена той или иной сферой. Имеются в виду такие методы, как статистический приемочный контроль, статистическое регулирование технологических процессов, надёжность и испытания, планирование экспериментов.

Прикладная статистика — это наука о том, как обрабатывать данные произвольной природы. Математической основой прикладной статистики и статистических методов анализа является теория вероятностей и математическая статистика.

Описание вида данных и механизма их порождения — начало любого статистического исследования. Для описания данных применяют как детерминированные, так и вероятностные методы. С помощью детерминированных методов можно проанализировать только те данные, которые имеются в распоряжении исследователя. Например, с их помощью получены таблицы, рассчитанные органами официальной государственной статистики на основе представленных предприятиями и организациями статистических отчётов. Перенести полученные результаты на более широкую совокупность, использовать их для предсказания и управления можно лишь на основе вероятностно-статистического моделирования. Поэтому в математическую статистику часто включают лишь методы, опирающиеся на теорию вероятностей.

В простейшей ситуации статистические данные — это значения некоторого признака, свойственного изучаемым объектам. Значения могут быть количественными или представлять собой указание на категорию, к которой можно отнести объект. Во втором случае говорят о качественном признаке.

При измерении по нескольким количественным или качественным признакам в качестве статистических данных об объекте получаем вектор. Его можно рассматривать как новый вид данных. В таком случае выборка состоит из набора векторов. Есть часть координат — числа, а часть — качественные (категоризованные) данные, то говорим о векторе разнотипных данных.

Одним элементом выборки, то есть одним измерением, может быть и функция в целом. Например, описывающая динамику показателя, то есть его изменение во времени, — электрокардиограмма больного или амплитуда биений вала двигателя. Или временной ряд, описывающий динамику показателей определенной фирмы. Тогда выборка состоит из набора функций.

Элементами выборки могут быть и иные математические объекты. Например, бинарные отношения. Так, при опросах экспертов часто используют упорядочения (ранжировки) объектов экспертизы — образцов продукции, инвестиционных проектов, вариантов управленческих решений. В зависимости от регламента экспертного исследования элементами выборки могут быть различные виды бинарных отношений (упорядочения, разбиения, толерантности), множества, нечёткие множества и т. д.

Математическая природа элементов выборки в различных задачах прикладной статистики может быть самой разной. Однако можно выделить два класса статистических данных — числовые и нечисловые. Соответственно прикладная статистика разбивается на две части — числовую статистику и нечисловую статистику.

Числовые статистические данные — это числа, вектора, функции. Их можно складывать, умножать на коэффициенты. Поэтому в числовой статистике большое значение имеют разнообразные суммы. Математический аппарат анализа сумм случайных элементов выборки — это (классические) законы больших чисел и центральные предельные теоремы.

Нечисловые статистические данные — это категоризованные данные, вектора разнотипных признаков, бинарные отношения, множества, нечёткие множества и др. Их нельзя складывать и умножать на коэффициенты. Поэтому не имеет смысла говорить о суммах нечисловых статистических данных. Они являются элементами нечисловых математических пространств (множеств). Математический аппарат анализа нечисловых статистических данных основан на использовании расстояний между элементами (а также мер близости, показателей различия) в таких пространствах. С помощью расстояний определяются эмпирические и теоретические средние, доказываются законы больших чисел, строятся непараметрические оценки плотности распределения вероятностей, решаются задачи диагностики и кластерного анализа, и т. д.[2]

В прикладных исследованиях используют статистические данные различных видов. Это связано, в частности, со способами их получения. Например, если испытания некоторых технических устройств продолжаются до определённого момента времени, то получаем так называемые цензурированные данные, состоящие из набора чисел — продолжительности работы ряда устройств до отказа, и информации о том, что остальные устройства продолжали работать в момент окончания испытания. Цензурированные данные часто используются при оценке и контроле надежности технических устройств.

Статистика является мультидисциплиной, так как она использует методы и принципы, заимствованные из других дисциплин. Так, в качестве теоретической базы для формирования статистической науки служат знания в области социологии и экономической теории. В рамках этих дисциплин происходит изучение законов общественных явлений. Статистика помогает произвести оценку масштаба того или иного явления, а также разработать систему методов для анализа и изучения. Статистика, несомненно, связана с математикой, так как для выявления закономерностей, оценки и анализа объекта исследования требуется ряд математических операций, методов и законов, а систематизация результатов находит отражения в виде графиков и таблиц.

Развитие вычислительной техники во второй половине XX века оказало значительное влияние на статистику. Ранее статистические модели были представлены преимущественно линейными моделями. Увеличение быстродействия ЭВМ и разработка соответствующих численных алгоритмов послужило причиной повышенного интереса к нелинейным моделям таким, как искусственные нейронные сети, и привело к разработке сложных статистических моделей, например обобщённая линейная модель и иерархическая модель.

Получили широкое распространение вычислительные методы, основанные на повторной выборке как критерий перестановок и бутстреппинг, наряду методы как семплирование по Гиббсу позволили более доступно использовать байесовские алгоритмы. В настоящее время существует разнообразное статистическое программное обеспечение общего и специализированного назначения.

Бытует мнение, что данные статистических исследований всё чаще намеренно искажают или неправильно интерпретируют, выбирая только те данные, которые являются благоприятными для ведущего конкретное исследование[10]. Неправильное использование статистических данных может быть как случайным, так и преднамеренным. В книге Даррелла Хаффа (1954) «Как лгать при помощи статистики» излагается ряд соображений по поводу использования и неправильного применения статистических данных. Некоторые авторы также проводят обзор статистических методов, используемых в определённых областях (например, Варн, Лазо, Рамос, и Риттер (2012))[11]. Способы, позволяющие избежать неправильного толкования статистических данных включают в себя использование надлежащей схемы и исключение предвзятости при проведении исследований[12]. Злоупотребление происходит тогда, когда такие выводы «заказываются» определёнными структурами, которые намеренно или бессознательно выводят на отбор предвзятых данных или проб[13]. При этом гистограммы, как самый простой для использования и понимания (восприятия) вид диаграммы, могут быть сделаны либо с применением обычных программ для компьютера или просто нарисованы[12]. Большинство людей не делают попыток искать ошибки или заблуждаются сами, поэтому и не видят ошибок. Таким образом, по мнению авторов, статистические данные, чтобы быть правдой, должны быть «не причёсаны» (то есть достоверные данные не должны выглядеть идеальными)[13]. Для того, чтобы полученные статистические данные оказались правдоподобными и точными, проба должна быть репрезентативной в целом[14].

Наиболее известная (и одна из лучших[15]) критика прикладной статистики, «Существуют три вида обмана: ложь, наглая ложь и статистика», англ. There are three kinds of lies: lies, damned lies, and statistics) традиционно приписывается премьер-министру Великобритании Бенджамину Дизраэли, после атрибуции Марка Твена в публикации «Главы моей автобиографии» (журнал North American Review 5 июля 1907 года)[16]: «Цифры обманчивы, — писал он, — я убедился в этом на собственном опыте; по этому поводу справедливо высказался Дизраэли: „Существует три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика“». Однако этой фразы нет в работах Дизраэли, её происхождение спорно. В 1964 году К. Уайт (англ. Colin White)[15] предположил авторство Франсуа Мажанди (1783—1855), который сказал фразу по-французски: фр. Ainsi l’altération de la vérité qui se manifeste déjà sous la forme progressive du mensonge et du parjure, nous offre-t-elle au superlatif, la statistique («Модификация правды, которая проявляется в сравнительной степени неправды и лжесвидетельства, имеет и суперлатив, статистику»). По словам Уайта, «мир нуждался в этой фразе, и несколько человек могли бы гордиться, придумав её».

• Карасёва Л. А. Статистика // Всемирная история экономической мысли: В 6 томах / Гл. ред. В. Н. Черковец. — М.: Мысль, 1987. — Т. I. От зарождения экономической мысли до первых теоретических систем политической жизни. — С. 484—494. — 606 с. — 20 000 экз. — ISBN 5-244-00038-1.
• Миклашевский И. Н. Статистика теоретическая // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Норман Дрейпер, Гарри Смит. Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия = Applied Regression Analysis. — 3-е изд. — М.: «Диалектика», 2007. — С. 912. — ISBN 0-471-17082-8.
• Орлов А. И. Прикладная статистика. Учебник. — М.: Экзамен, 2006. — 671 с.
• Дарелл Хафф. Как лгать при помощи статистики = How to Lie with Statistics. — М.: Альпина Паблишер, 2015. — 163 с. — ISBN 978-5-9614-5212-9.
• Глинский В. В., Ионин В. Г. Статистический анализ. — М.: Инфра-М, 2002. — 241 с. — (Высшее образование). — 5000 экз. — ISBN 5-16-001293-1.
• Кендалл М., Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. — М.: Наука, 1976. — 736 с.
• White C. Unkind cuts at statisticians (англ.) // The American Statistician. — 1964. — Vol. 18, no. 5. — P. 15—17.

• Статистика — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Статистика // Советская историческая энциклопедия
• Федеральная служба государственной статистики Российской Федерации — Росстат
• «Statisticians in World War II: They also served». The Economist, Dec 20th 2014