Случайная величина

Случайная величина — переменная, значения которой представляют собой численные исходы некоторого случайного феномена или эксперимента. Другими словами, это численное выражение результата случайного события. Случайная величина является одним из основных понятий теории вероятностей.[1] Для обозначения случайной величины в математике принято использовать греческую букву «кси» $\xi$ . Если определять случайную величину более строго, то она является функцией $y=\xi (\omega )$ , значения $y$ которой численно выражают исходы $\omega$ случайного эксперимента. Одним из требований к данной функции будет её измеримость, что служит для отсеивания тех случаев, когда значения данной функции $\xi (\omega )$ бесконечно чувствительны к малейшим изменениям в исходах случайного эксперимента. Во многих практических случаях можно рассматривать случайную величину как произвольную функцию из $\Omega$ в $\mathbb {R}$ [2].

Как функция, случайная величина $\xi (\omega )$ не является вероятностью наступления события $\omega$ , а возвращает численное выражение исхода $\omega$ . Важными характеристиками случайных величин являются математическое ожидание и дисперсия[3].

Примером объектов, для представления состояния которых требуется применение случайных величин, являются микроскопические объекты, описываемые квантовой механикой. Случайными величинами описываются события передачи наследственных признаков от родительских организмов к их потомкам (см. Законы Менделя). К случайным относятся события радиоактивного распада ядер атомов.[1]

Существует ряд задач математического анализа и теории чисел, для которых участвующие в их формулировках функции целесообразно рассматривать как случайные величины, определённые на подходящих вероятностных пространствах[4].

История

Роль случайной величины, как одного из основных понятий теории вероятностей, впервые была чётко осознана П. Л. Чебышёвым, который обосновал общепринятую на сегодня точку зрения на это понятие (1867)[5]. Понимание случайной величины как частного случая общего понятия функции, пришло значительно позднее, в первой трети 20 века. Впервые полное формализованное представление основ теории вероятностей на базе теории меры было разработано А. Н. Колмогоровым (1933)[6], после которого стало ясным, что случайная величина представляет собой измеримую функцию, определённую на вероятностном пространстве. В учебной литературе эта точка зрения впервые последовательно проведена У. Феллером (см. предисловие к[7], где изложение строится на основе понятия пространства элементарных событий и подчёркивается, что лишь в этом случае представление случайной величины становится содержательным).

Определение

Формальное математическое определение следующее: пусть $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ — вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ , измеримая относительно ${\mathcal {F}}$ и борелевской σ-алгебры на $\mathbb {R}$ . Вероятностное поведение отдельной (независимой от других) случайной величины полностью описывается её распределением.

Случайную величину можно определить и другим эквивалентным способом[8]. Функция $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R}$ называется случайной величиной, если для любых вещественных чисел $a$ и $b$ множество событий $\omega$ , таких что $\xi (\omega )\in (a,b)$ , принадлежит ${\mathcal {F}}$ .

Способы задания

Задать случайную величину, описав этим все её вероятностные свойства как отдельной случайной величины, можно с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции, определяя вероятности возможных её значений. Функция распределения $F(x)$ равна вероятности того, что значение случайной величины меньше вещественного числа $x$ . Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна $F(b)-F(a)$ . Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения. Например, если случайная величина $\xi$ принимает значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью 1/2, то случайные величины $\xi$ и $\xi ^{3}$ описываются одной и той же функцией распределения F(x).

Другим способом задания случайной величины является функциональное преобразование случайной величины $\xi$ . Если $f(x)$ — борелевская функция, то $\eta =f(\xi )$ также является случайной величиной. Например, если $\xi$ — стандартная нормальная случайная величина, то случайная величина $\chi ^{2}=\xi ^{2}$ имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера, распределение Стьюдента являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.

Если случайная величина дискретная, то полное и однозначное математическое описание её распределения определяется указанием функции вероятностей $p_{k}=P(\xi =x_{k}),\;k\in \mathbb {N}$ всех возможных значений этой случайной величины. В качестве примера рассмотрим биномиальный и пуассоновский законы распределения.

Биноминальный закон распределения описывает случайные величины, значения которых определяют количество «успехов» и «неудач» при повторении опыта $N$ раз. В каждом опыте «успех» может наступить с вероятностью $p$ , «неудача» — с вероятностью $q=1-p$ . Закон распределения в этом случае определяется формулой Бернулли:

P_{k,n}=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}

.

Если при стремлении $n$ к бесконечности произведение $np$ остаётся равной константе $\lambda >0$ , то биномиальный закон распределения сходится к закону Пуассона, который описывается следующей формулой:

p(k)\equiv \mathbb {P} (Y=k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }

,

где

символ « ${\displaystyle$ » обозначает факториал,
$e=2.7182818284\ldots$ — основание натурального логарифма.

Числовые характеристики случайных величин

Математическим ожиданием или средним значением случайной величины $\xi =\xi (\omega )$ в линейном нормированном пространстве X на пространстве элементарных событий $(\Omega ,{\mathfrak {A}},\mathbb {P} )$ называется интеграл

\mathop {\mathbb {E} } \xi =\int \limits _{\Omega }\xi (\omega )\,\mathbb {P} (d\omega )=\int \limits _{\Omega }x\mathbb {P_{\xi }} (d\omega )

(в предположении, что функция $\xi =\xi (\omega )$ является интегрируемой).

Дисперсией случайной величины $\xi$ называется величина, равная:

\operatorname {D} \xi =\mathop {\mathbb {E} } (\xi -\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}=\mathop {\mathbb {E} } \xi ^{2}-(\mathop {\mathbb {E} } \xi )^{2}~.

В статистике для дисперсии часто употребляется обозначение $\sigma _{\xi }^{2}$ или $\sigma ^{2}$ . Величина $\sigma$ , равная

\sigma ={\sqrt {\operatorname {D} \xi }}

называется среднеквадратическим отклонением, стандартным отклонением или стандартным разбросом.

Ковариацией случайных величин $\xi$ и $\eta$ называется следующая величина:

\mathrm {cov} (\xi ,\eta )

=

\operatorname {E} (\xi -\operatorname {E} {\xi })({\eta }-\operatorname {E} {\eta })

(предполагается, что математические ожидания определены).

Если $\mathrm {cov} (\xi ,\eta )$ = 0, то случайные величины $\xi$ и $\eta$ называются не коррелированными. Независимые случайные величины всегда некоррелированы, однако обратное неверно[9].

Функции от случайных величин

Если $f(x)$ — борелевская функция, а $\xi$ — случайная величина, то ее функциональное преобразование $\eta =f(\xi )$ также является случайной величиной. Например, если $\xi$ — стандартная нормальная случайная величина, случайная величина $\chi ^{2}=\xi ^{2}$ имеет распределение хи-квадрат с одной степенью свободы. Многие распределения, в том числе распределение Фишера и распределение Стьюдента, являются распределениями функциональных преобразований нормальных случайных величин.

Если $\xi$ и $\eta$ с совместным распределением $F_{\xi \eta }(x,y)$ , а $\phi =\phi (x,y)$ — некоторая борелевская функция, то для $\zeta =\phi (\xi ,\eta )$ справедливо[10]:

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{\{x,y:\phi (x,y)\leqslant z\}}\,dF_{\xi \eta }(x,y)~.

Если $\phi (x,y)=x+y$ , $\xi$ и $\eta$ независимы, то $F_{\xi \eta }(x,y)=F_{\xi }(y)F_{\eta }(y)$ . Применяя теорему Фубини, получаем:

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\eta }(z-x)dF_{\xi }(x)

и аналогично:

F_{\zeta }(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F_{\xi }(z-y)dF_{\eta }(y)~.

Если $F$ и $G$ функции распределения, то функцию

H(z)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\,F(z-x)dG(x)

называют свёрткой $F$ и $G$ и обозначают $F*G$ .
Характеристическая функция $\zeta =\xi +\eta$ суммы независимых случайных величин $\xi$ и $\eta$ является преобразованием Фурье свёртки $F*G$ функций распределения $F$ и $G$ и равна произведения характеристических функций $\xi$ и $\eta$ :

\phi _{\zeta }(u)=\phi _{\xi }(u)\phi _{\eta }(u)~.

Примеры

Дискретная случайная величина

Примерами дискретной случайной величины могут служить показания спидометра или измерения температуры в конкретные моменты времени[11].

Подбрасывание монеты

Все возможные исходы подбрасывания монеты могут быть описаны пространством элементарных событий $\Omega =\{$ орёл, решка $\}$ или кратко $\{op,pe\}$ . Пусть случайная величина $\xi$ равна выигрышу в результате подбрасывания монеты. Пусть выигрыш будет 10 рублей каждый раз, когда монета выпадает орлом, и −33 рубля при выпадении решки. Математически эту функцию выигрыша можно представить так:

\xi (\omega )={\begin{cases}10,&{\text{если }}\omega ={\text{op}},\\[6pt]-33,&{\text{если }}\omega ={\text{pe}}.\end{cases}}

Если монета идеальная, то выигрыш $\xi$ будет иметь вероятность, заданную как:

P(\xi =y)={\begin{cases}{\tfrac {1}{2}},&{\text{если }}y=10,\\[6pt]{\tfrac {1}{2}},&{\text{если }}y=-33,\end{cases}}

где

P(\xi =y)

— вероятность получения

y

рублей выигрыша при одном подбрасывании монеты.

Если пространство исходов равно множеству всех возможных комбинаций очков на двух костях, и случайная величина равна сумме этих очков, тогда S — дискретная случайная величина, чьё распределение описывается функцией вероятности, значение которой изображено как высота соответствующей колонки.

Бросание игральных костей

Случайная величина также может быть использована для описания процесса бросания игральных костей, а также для расчёта вероятности конкретного исхода таких бросков. В одном из классических примеров данного эксперимента используются две игральные кости $n_{1}$ и $n_{2}$ , каждая из которых может принимать значения из множества {1, 2, 3, 4, 5, 6} (количество очков на сторонах костей). Общее количество очков выпавших на костях и будет значением нашей случайной величины $\xi$ , которая задаётся функцией:

\xi ((n_{1},n_{2}))=n_{1}+n_{2}

и (если кости идеальные) функция вероятности для $\xi$ задаётся через:

P(S)={\frac {\min(S-1,13-S)}{36}},{\text{ for }}S\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}

,

где

S

— сумма очков на выпавших костях.

Колода карт

Пусть экспериментатор тянет наугад одну из карт в колоде игральных карт. Тогда $\omega$ будет представлять одну из вытянутых карт; здесь $\omega$ не число, а карта — физический объект, название которого обозначается через символ $\omega$ . Тогда функция $\xi (\omega )$ , принимая в качестве аргумента «название» объекта, вернёт число, с которым мы будем в дальнейшем ассоциировать карту $\omega$ . Пусть в нашем случае экспериментатор вытянул Короля Треф, то есть $\omega =K_{\clubsuit }$ , тогда после подставления этого исхода в функцию $\xi (K_{\clubsuit })$ , мы получим уже число, например, 13. Это число не является вероятностью вытягивания короля из колоды или любой другой карты. Это число является результатом перевода объекта из физического мира в объект математического мира, ведь с числом 13 уже можно проводить математические операции, в то время как с объектом $K_{\clubsuit }$ эти операции проводить было нельзя.

Абсолютно непрерывная случайная величина

Другой класс случайных величин — такие, для которых существует неотрицательная функция $p(x)$ , удовлетворяющая при любых $x$ равенству $P(\omega |\xi (\omega )\leq x)=\textstyle \int \limits _{-\infty }^{x}\displaystyle p(z)dz$ . Случайные величины, удовлетворяющие этому свойству называются абсолютно непрерывными, а функция $p(x)$ называется плотностью распределения вероятностей.

Число возможных значений абсолютно непрерывной случайной величины бесконечно. Пример абсолютно непрерывной случайной величины: измерение скорости перемещения любого вида транспорта или температуры в течение конкретного интервала времени.[11]

Рост случайного прохожего

Пусть в одном из экспериментов нужно случайным образом выбрать одного человека (обозначим его как $\omega$ ) из группы испытуемых, пусть тогда случайная величина $\xi$ выражает рост выбранного нами человека. В этом случае, с математической точки зрения, случайная величина $\xi$ интерпретируется как функция $y=\xi (\omega )$ , которая трансформирует каждого испытуемого $\omega$ в число — его рост $y$ . Для того чтобы рассчитать вероятность того, что рост человека попадёт в промежуток между 180 см и 190 см, или вероятность того, что его рост будет выше 150 см, нужно знать распределение вероятности $\xi$ , которое в совокупности с $\xi$ и позволяет рассчитывать вероятности тех или иных исходов случайных экспериментов.

Простейшие обобщения

Случайная величина, вообще говоря, может принимать значения в любом измеримом пространстве. Тогда её чаще называют случайным вектором или случайным элементом. Например,

Измеримая функция $\xi \colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ называется $n$ -мерным случайным вектором (относительно борелевской $\sigma$ -алгебры на $\mathbb {R} ^{n}$ ).
Измеримая функция $\xi \colon \Omega \to \mathbb {C} ^{n}$ называется $n$ -мерным комплексным случайным вектором (также относительно соответствующей борелевской $\sigma$ -алгебры).
Измеримая функция, отображающая вероятностное пространство в пространство подмножеств некоторого (конечного) множества, называется (конечным) случайным множеством.

См. также

Примечания

Прохоров Ю. В. Случайная величина //Математическая энциклопедия/Под ред. Виноградова И. М.- М.: Советская энциклопедия, 1985.-Т.5.- Стр. 9.- 623 с.
Чернова, 2007, с. 49—50.
Случайная величина — статья из Большой советской энциклопедии.
Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.
Чебышев П. Л., О средних величинах, в кн.: Полн. Собр. Соч., т. 2, М.- Л., 1947
Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974
Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967
Чернова Н. И. Глава 6. Случайные величины и их распределения § 1. Случайные величины // Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.
Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel. Counterexamples in Probability and Statistics. — Belmont, California: Wadsworth, Inc., 1986. — 326 с. — ISBN 0534055680.
Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.
Образовательный портал ТГУ (неопр.). edu.tltsu.ru. Дата обращения: 26 июня 2020.

Литература

Гнеденко Б. В. Курс теории вероятности. — 8-е изд. доп. и испр. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.
Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Прохоров Ю. В.. — 2-е изд. — М.: «Советская энциклопедия», 1998. — 847 с.
Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. — Учебное пособие для ВУЗов. — М.: Радио и связь, 1991. — 608 с. — ISBN 5-256-00789-0.
Чернова Н. И. Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

Ссылки

Многомерные случайные величины

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[:0-1] Прохоров Ю. В. Случайная величина //Математическая энциклопедия/Под ред. Виноградова И. М.- М.: Советская энциклопедия, 1985.-Т.5.- Стр. 9.- 623 с.

[_447ccf1eeee9710a-2] Чернова, 2007, с. 49—50.

[БСЭ:_C.-3] Случайная величина — статья из Большой советской энциклопедии.

[4] Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963.

[5] Чебышев П. Л., О средних величинах, в кн.: Полн. Собр. Соч., т. 2, М.- Л., 1947

[6] Колмогоров А. Н., Основные понятия теории вероятностей, 2 изд., М., 1974

[7] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и её приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1, М., 1967

[Чернова_СлВ-8] Чернова Н. И. Глава 6. Случайные величины и их распределения § 1. Случайные величины // Теория вероятностей. — Учебное пособие. — Новосибирск: Новосибирский гос. ун-т, 2007. — 160 с.

[9] Joseph P. Romano, Andrew F. Siegel. Counterexamples in Probability and Statistics. — Belmont, California: Wadsworth, Inc., 1986. — 326 с. — ISBN 0534055680.

[Ширяев-10] Ширяев А. Н. Вероятность. — М:.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. — 640 с. — ISBN 5-02-013995-6.

[ТГУ-11] Образовательный портал ТГУ (неопр.). edu.tltsu.ru. Дата обращения: 26 июня 2020.