Борелевская сигма-алгебра

• Борелевское пространство — топологическое пространство, снабжённое борелевской сигма-алгеброй.
• Борелева (борелевская) функция — отображение одного топологического пространства в другое (обычно оба суть пространства вещественных чисел), для которого прообраз любого борелевского множества есть борелевское множество.
• Мера Бореля — мера определённая на всех открытых (а значит, и на всех борелевских) множествах топологического пространства.

• Всякое борелевское множество на отрезке является измеримым относительно меры Лебега, но обратное неверно.

Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое может не быть борелевским.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{2}}(x+c(x))}$ на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$, где ${\displaystyle c(x)}$ — канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима. Также измерима обратная к ней функция. Мера образа канторова множества равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, так как мера образа его дополнения равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество ${\displaystyle A}$. Тогда его прообраз ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе ${\displaystyle A}$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества при измеримом отображении ${\displaystyle f^{-1}(x)}$).

• В. Г. Кановей, В. А. Любецкий. Современная теория множеств: борелевские и проективные множества. — МЦНМО, 2010. — 320 с. — ISBN 78-5-94057-683-9.