Канторово множество

Из единичного отрезка ${\displaystyle C_{0}=[0,1]}$ удалим среднюю треть, то есть интервал ${\displaystyle (1/3,2/3)}$. Оставшееся точечное множество обозначим через ${\displaystyle C_{1}}$. Множество ${\displaystyle C_{1}=[0,1/3]\cup [2/3,1]}$ состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через ${\displaystyle C_{2}}$. Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем ${\displaystyle C_{3}}$. Дальше таким же образом получаем последовательность замкнутых множеств ${\displaystyle C_{0}\supset C_{1}\supset C_{2}\supset \dots }$. Пересечение

${\displaystyle C=\bigcap _{i=0}^{\infty }C_{i}}$

называется канторовым множеством.

Множества ${\displaystyle C_{0},\ C_{1},\ C_{2},\ C_{3},\ C_{4},\ C_{5},\ C_{6}}$

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек (числа с единицей в n-м разряде вырезаются на n-м шаге построения). При этом следует отметить, что число принадлежит канторовому множеству, если у него есть хотя бы одно такое представление, например ${\displaystyle 0{,}1_{3}\in C}$, так как ${\displaystyle 0{,}1_{3}=0{,}0(2)_{3}}$.

В такой записи легко увидеть континуальность канторова множества.

Канторово множество может быть определено как аттрактор. Рассмотрим все последовательности точек ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ такие, что для любого ${\displaystyle n}$

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}/3}$ или ${\displaystyle x_{n+1}-1=(x_{n}-1)/3}$.

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является канторовым множеством.

В литературе по общей топологии канторово множество определяется как счётная степень двухточечного дискретного пространства — ${\displaystyle \{0;1\}^{\aleph _{0}}}$[2]; такое пространство гомеоморфно классически построенному канторову множеству (с обычной евклидовой топологией)[3][4].