L-система

Оригинальная L-система Линденмайера для моделирования роста водорослей.

переменные : A B

константы : нет

аксиома  : A

правила  : (A → AB), (B → A)

Система даёт

n = 0 : A

n = 1 : AB

n = 2 : ABA

n = 3 : ABAAB

n = 4 : ABAABABA

n = 5 : ABAABABAABAAB

n = 6 : ABAABABAABAABABAABABA

n = 7 : ABAABABAABAABABAABABAABAABABAABAAB

n=0:         A           старт (аксиома/инициатор)
            / \
n=1:       A   B         начальная единственная A превращается в AB по правилу (A → AB), правило (B → A) не может быть применено
          /|    \
n=2:     A B     A       к строке AB применяются все правила, A снова превращается в AB, а B превращается A
        /| |     |\
n=3:   A B A     A B     заметьте, что все A переводятся в копию себя и добавляется B, которая превращается ...
      /| | |\    |\ \
n=4: A B A A B   A B A   ... в A в следующем поколении, что приводит к рекурсии

Результатом будут слова Фибоначчи. Если посчитать длину каждой строки, получим знаменитую последовательность Фибоначчи (опуская первую 1):

1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ...

Для каждой строки, если мы отсчитаем k-ю позицию с левого конца строки, значение зависит от того, попадает ли k, умноженное на золотое сечение, в интервал ${\displaystyle (k-1,k)}$. Отношение вхождений букв A к B также сходится к золотому сечению.

Этот пример даёт тот же результат (в смысле длины строк, не в смысле последовательности букв A и B), если правило (A → AB) заменить на (A → BA), но при этом получим зеркально отражённые строки.

Эта последовательность является катенантной, поскольку ${\displaystyle G(n)=G(n-1)G(n-2)}$, где ${\displaystyle G(n)}$ является n-м поколением.

• переменные: 0, 1
• константы: [, ]
• аксиома: 0
• правила: (1 → 11), (0 → 1[0]0)

Фигура строится рекурсивным применением правил вывода к аксиоме. Каждый символ входной строки проверяется в списке правил, чтобы определить, на что следует заменить символ. В этом примере «1» на входе превращается в «11» на выходе, а «[» не меняется. Применяя правила вывода к аксиоме «0», получим:

Мы видим, что строки быстро растут в длине и сложности. Строку можно нарисовать в виде рисунка с помощью черепашьей графики, где каждому символу соответствует графическая операция для черепахи. В данном примере черепахе могут быть даны следующие команды:

• 0: рисуем отрезок, кончающийся листом
• 1: рисуем отрезок
• [: кладем в стек положение и угол рисования, поворачиваем влево на 45 градусов
• ]: считываем из стека положение и угол, поворачиваем вправо на 45 градусов

«Положим в стек» и «выберем из стека» относится к LIFO-стеку (более подробная грамматика потребовала бы разделить на «положим в стек» и «повернём»). Когда интерпретатор встречает «[», текущее положение черепахи и угол движения сохраняются в стеке, когда же встречается «]», положение и угол восстанавливаются. Если несколько значений заносятся в стек, восстанавливается последнее занесённое значение. В литературе L-системы, использующие такой подход к ветвлению, называют «bracketed L-systems» (скобочные L-системы)[2].

Применяя эти графические правила к полученной ранее строке, мы имеем:

• 
  Аксиома
• 
  Первая рекурсия
• 
  Вторая рекурсия
• 
  Третья рекурсия
• 
  Четвёртая рекурсия
• 
  Седьмая рекурсия, уменьшенная в десять раз

переменные: A B

константы: нет

старт: A {стартовая строка}

правила: (A → ABA), (B → BBB)

Пусть A означает «рисуем отрезок», а B означает «движемся».

Такая грамматика порождает знаменитое канторово фрактальное множество на вещественной оси R.

Вариант кривой Коха, использующей только прямые углы.

переменные : F

константы : + −

старт  : F

правила  : (F → F+F−F−F+F)

Здесь F означает «рисуем отрезок», + означает «повернуть влево на 90°», а − означает «повернуть вправо на 90°» (см. «Черепашья графика»).

n = 0:

F

n = 1:

F+F−F−F+F

n = 2:

F+F−F−F+F + F+F−F−F+F − F+F−F−F+F − F+F−F−F+F + F+F−F−F+F

n = 3:

F+F−F−F+F+F+F−F−F+F−F+F−F−F+F−F+F−F−F+F+F+F−F−F+F +

F+F−F−F+F+F+F−F−F+F−F+F−F−F+F−F+F−F−F+F+F+F−F−F+F −

F+F−F−F+F+F+F−F−F+F−F+F−F−F+F−F+F−F−F+F+F+F−F−F+F −

F+F−F−F+F+F+F−F−F+F−F+F−F−F+F−F+F−F−F+F+F+F−F−F+F +

F+F−F−F+F+F+F−F−F+F−F+F−F−F+F−F+F−F−F+F+F+F−F−F+F

Треугольник Серпинского, нарисованный с помощью L-системы.

переменные: F G

константы: + −

старт: F−G−G

правило: (F → F−G+F+G−F), (G → GG)

угол: 120°

Здесь F и G означают «рисуем отрезок», + означает «повернуть вправо на угол», а − означает «повернуть влево на угол».

• 
  n = 2
• 
  n = 4
• 
  n = 6

Можно также аппроксимировать треугольник Серпинского, используя L-систему создания стреловидной кривой Серпинского.

переменные: A B

константы: + −

старт: A

правила: (A → B−A−B), (B → A+B+A)

угол: 60°

Здесь A и B означают «рисуем отрезок», + означает «повернуть влево на угол», а − означает «повернуть вправо на угол» (см. «Черепашья графика»).

Кривая дракона, нарисованная с помощью L-системы.

переменные : X Y

константы : F + −

старт  : FX

правила  : (X → X+YF+), (Y → −FX−Y)

угол  : 90°

Здесь F означает «рисуем отрезок», − означает «повернуть влево на 90°», а + означает «повернуть вправо на 90°». X и Y не соответствуют какому-либо действию при рисовании, а используются только для построения кривой.

переменные : X F

константы : + − [ ]

старт  : X

правила  : (X → F−[[X]+X]+F[+FX]−X), (F → FF)

угол  : 25°

Здесь F означает «рисуем отрезок», − означает «повернуть влево на 25°», а + означает «повернуть вправо на 25°». X не соответствует какому-либо действию при рисовании используется только для построения кривой. Квадратная скобка «[» соответствует сохранению текущих значений позиции и угла, которые восстанавливаются, когда выполняется соответствующий символ «]».

Модели грамматик, которые мы сейчас рассматривали, являются детерминированными. То есть, если дан какой-либо символ из алфавита, имеется в точности одно правило, которое всегда выбирается и всегда выполняется одна и та же подстановка. Альтернативой является указание более одного правила вывода для символа, задав для каждого правила вероятность выполнения. Например, в грамматике примера 2 мы можем заменить правило переписывания «0» с

0 → 1[0]0

на вероятностное правило

0 (0.5) → 1[0]0

0 (0.5) → 0

При этих правилах вывода, когда встречается «0» во входной строке, с вероятностью 50 % поведение будет таким же, как и раньше, а с вероятностью 50 % ничего не меняется. Если используется стохастическая грамматика в контексте эволюции, рекомендуется инкорпорировать генератор случайности в генотип, так что стохастические свойства рисунка остаются постоянными между поколениями.

Контекстно-зависимое правило вывода просматривает не только символы, которые он изменяет, но и символы предшествующие им и следующие за ними. Например, правило вывода:

b < a > c → aa

преобразует "a" в "aa", но только если "a" окажется между "b" и "c" во входной строке:

…bac…

Как и в случае случайного вывода, имеется несколько правил для обработки символы в различных контекстах. Если никакое порождающее правило не найдено для указанного контекста, предполагается тождественное преобразование, и символ не меняется. Если имеются как контекстно-независимые, так и зависимые правила вывода в той же грамматике, контекстно-зависимое правило вывода имеет преимущество (если его можно применить).

В параметрической грамматике каждый символ в алфавите имеет список параметров, ассоциированный с символом. Символ вместе с параметрами называется модулем и строка в параметрической грамматике — это последовательность модулей. Примером может служить следующая строка:

a(0,1)[b(0,0)]a(1,2)

Параметры могут быть использованы как функцией рисования, так и правилами вывода. Правила вывода могут использовать параметры двумя путями. В первом случае параметр используется в условном выражении, определяющем, следует ли применять правило вывода. Во втором случае правило вывода может подменять фактические параметры. Например, правило вывода:

a(x,y) : x == 0 → a(1, y+1)b(2,3)

Модуль a(x,y) испытывает преобразование по этому правилу, если выполняется x=0. Например, a(0,2) претерпит преобразование, а a(1,2) — нет.

На правой стороне правила вывода (в преемнике) могут быть подвергнуты преобразованию как параметры, так и целые модули. В примере выше модуль b(x,y) добавляется к строке с начальными параметрами (2,3). Параметры же уже существующего модуля преобразуются. При описанных выше правилах вывода,

a(0,2)

Становится

a(1,3)b(2,3)

так как параметр «x» модуля a(x,y) явно преобразуется в «1», а параметр «y» увеличивается на единицу.

Параметрические грамматики позволяют длину отрезка и угол ответвления задать в грамматике, а не в методах интерпретации черепашьей графики. Если возраст также задаётся параметром для модуля, правила могут быть изменены в зависимости от возраста сегмента растения, что позволяет создавать анимацию всего жизненного цикла дерева.

• D0L-системы = детерминированные контекстно-свободные системы (см. выше)
• Размножающиеся L-системы («Propagative L-systems», «pL-systems») — это системы, в которых хотя бы одно правило имеет в правой части (в выводе) по меньшей мере две буквы. Неразмножающиеся системы имеют в правой части только один символ. Длина слова в этом случае не меняется[3].
• Скобочные L-системы (см. Пример 2)
• 0L-системы, 1L-системы, 2L-системы (IL-системы, известные также как (k,l)-системы)[4].
• Табличные L-системы ( «T0L-системы») — это системы, работающие с несколькими наборами правил. Для выбора набора правил используется внешний механизм контроля. Табличные L-системы были введены и формализованы Розенбергом в 1975 для моделирования влияния среды на рост растений[5] .