Фрактал Ляпунова

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью BBBBBBAAAAAA; зона роста параметра — в области [3.4, 4.0] x [2.5, 3.4]. Также известен как Zircon City.

Фракталы Ляпунова обычно строятся для значений A и B в интервале ${\displaystyle [0,4]}$. Для бо́льших значений интервал ${\displaystyle [0,1]}$ уже не стабилен, и последовательность вероятнее всего стремится к бесконечности, хотя для некоторых параметров всё ещё существуют сходящиеся циклы конечных значений. У всех итерационных последовательностей диагональ a = b такая же, как у стандартной логистической функции с одним параметром.

Последовательность обычно начинается со значения 0,5, которое является критической точкой итеративной функции. Другие (обычно комплекснозначные) критические точки итеративной функции одного полного цикла — это те, которые проходят через значение 0,5 в первом цикле. Сходящийся цикл должен содержать по меньшей мере одну критическую точку, поэтому все сходящиеся циклы могут быть получены всего лишь сдвигом итерационной последовательности с сохранением начального значения 0,5. На практике сдвиг этой последовательности приводит к изменениям фрактала, поскольку некоторые ветви перекрываются другими. Например, обратите внимание, что фрактал Ляпунова для итерационной последовательности AB не идеально симметричен относительно a и b.

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AABAB в области [2, 4] x [2, 4].

1. Выбрать строку из символов A и B и C и D любой нетривиальной длины (например, AABABCCAADDCD).
2. Построить последовательность ${\displaystyle S}$ последовательных символов строки, повторённых необходимое число раз.
3. Выбрать точку ${\displaystyle (a,b)\in [0,4]\times [0,4]}$.
4. Выбрать точку ${\displaystyle (c,d)\in [4,0]\times [4,0]}$.
5. Определить функцию ${\displaystyle r_{n}={\begin{cases}a,&S_{n}=A\\b,&S_{n}=B\\c,&S_{n}=C\\d,&S_{n}=D\end{cases}}}$.
6. Принять ${\displaystyle x_{0}=0,5}$ и выполнить итерации ${\displaystyle x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})}$.
7. Вычислить экспоненту Ляпунова (англ.): ${\displaystyle \lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n}(1-2x_{n})|}$
8. Раскрасить точку ${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$ согласно полученному значению ${\displaystyle \lambda }$.
9. Повторить шаги 3-7 для каждой точки плоскости изображения.

На практике ${\displaystyle \lambda }$ аппроксимируется подбором достаточно большого ${\displaystyle N}$. Этот алгоритм подходит для таких языков, как Mathematica, но не для языков низкого уровня.

• EFG’s Fractals and Chaos — Lyapunov Exponents (англ.)
• Elert, Glenn Lyapunov Space (неопр.). The Chaos Hypertextbook. Дата обращения: 23 февраля 2017. Архивировано 30 марта 2012 года. (англ.)