Самоподобие

Компактное топологическое пространство X самоподобно, если существует конечное множество S, индексирующее набор несюръективных отображений ${\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S},}$ для которых

${\displaystyle X=\cup _{s\in S}f_{s}(X)}$

Если ${\displaystyle X\subset Y}$, то X называется самоподобным, если оно является единственным непустым подмножеством Y, для которого вышеприведённое уравнение выполняется при заданном семействе ${\displaystyle \{f_{s}\}_{s\in S}}$. В таком случае

${\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}\}_{s\in S})}$

именуется самоподобной структурой. Можно проитерировать данные отображения так, что в результате получится система итерированных функций. Композиция функций порождает алгебраическую структуру моноида. В случае, если множество S содержит всего два элемента, моноид называется диадическим. Диадический моноид можно визуально представить в виде бесконечного бинарного дерева; вообще, если множество S имеет p элементов, моноид может быть представлен в виде p-адического дерева.

Группа автоморфизмов диадического моноида является модулярной; автоморфизмы могут быть визуализированы как гиперболическое вращение бинарного дерева.

Пример самоподобия в виде капусты под названием «Романеско»

Самоподобие имеет важные приложения в построении компьютерных сетей, так как типичный сетевой поток обладает аналогичным свойствами. Например, в телефонии потоки пакетных данных почти статистически самоподобны. Наличие данного свойства означает, что простые модели, использующие пуассоновское распределение, неточны, и сети, построенные без учёта самоподобия, могут функционировать в непредсказуемых режимах.

Движение цен на фондовом рынке также демонстрирует самоподобие, так как представляется вполне обоснованным считать графики приближённо повторяющимися при изменении масштаба (скважности, периодичности).

• Подобие
• Мера
• Орнамент
• Докучная сказка
• Рефлексивное отношение
• Рефлексный двоичный код Грея
• Рекурсия
• Рефрен
• Симметрия