Рефлексивное отношение

Рефлексивное отношение в математике — бинарное отношение ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$, при котором всякий элемент этого множества находится в отношении ${\displaystyle R}$ с самим собой[1].

Формально, отношение ${\displaystyle R}$ рефлексивно, если ${\displaystyle \forall x\in X:\ (xRx)}$.

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент х имеет петлю — дугу (х, х).

Бинарное отношение ${\displaystyle R}$ на множестве ${\displaystyle X}$ является рефлексивным тогда и только тогда, когда его подмножеством является тождественное отношение ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$ на множестве ${\displaystyle X}$ (${\displaystyle \operatorname {id} _{X}=\{(x,x)|x\in X\}}$), то есть ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}\subseteq R}$.

Если ${\displaystyle aRa}$ не имеет смысла, то отношение ${\displaystyle R}$ называется антирефлексивным (или иррефлексивным)[1].

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения ${\displaystyle R}$ определяется как: ${\displaystyle \forall x\in X:\ \neg (xRx)}$.

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества ${\displaystyle X}$, говорят, что отношение ${\displaystyle R}$ нерефлексивно.