Неравенство

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений[1]:

• К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
• От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из ${\displaystyle a+b<c}$ следует, что ${\displaystyle a<c-b.}$
• Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
• Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle c<d,}$ то ${\displaystyle a+c<b+d.}$ Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
• Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
• Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).

Другие свойства

• Транзитивность: если ${\displaystyle a<b}$ и ${\displaystyle b<c,}$ то ${\displaystyle a<c}$ и аналогично для прочих знаков.
• Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

${\displaystyle x^{2}<4}$ выполняется при ${\displaystyle -2<x<2.}$

${\displaystyle x^{2}>4}$ выполняется, если ${\displaystyle x>2}$ или ${\displaystyle x<-2.}$

${\displaystyle x^{2}<-4}$ не выполняется никогда (решений нет).

${\displaystyle x^{2}>-4}$ выполняется при всех ${\displaystyle x}$ (тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство ${\displaystyle x>3}$ возвести в квадрат: ${\displaystyle x^{2}>9,}$ то появится ошибочное решение ${\displaystyle x<-3,}$ не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенство первой степени имеет общий формат: ${\displaystyle ax>b}$ или ${\displaystyle ax<b,}$ где ${\displaystyle a\neq 0}$ (работа со знаками ${\displaystyle \geqslant }$ и ${\displaystyle \leqslant }$ аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на ${\displaystyle a}$ и, если ${\displaystyle a<0,}$ измените знак неравенства на противоположный[3]. Пример:

${\displaystyle 5x-11>8x+1.}$ Приведём подобные члены: ${\displaystyle -3x>12,}$ или ${\displaystyle x<-4.}$

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы ${\displaystyle {\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}}$ получаем два решения: для первого неравенства ${\displaystyle x<2,}$ для второго: ${\displaystyle x>{2 \over 3}.}$ Соединяя их, получаем ответ: ${\displaystyle {2 \over 3}<x<2.}$

Пример 2. ${\displaystyle {\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}}$ Решения: ${\displaystyle x<2}$ и ${\displaystyle x<{2 \over 3}.}$ Второе решение поглощает первое, так что ответ: ${\displaystyle x<{2 \over 3}.}$

Пример 3. ${\displaystyle {\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}}$ Решения: ${\displaystyle x>2}$ и ${\displaystyle x<{2 \over 3},}$ они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

${\displaystyle x^{2}+px+q>0}$ или ${\displaystyle x^{2}+px+q<0.}$

Если квадратное уравнение ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ имеет вещественные корни ${\displaystyle x_{1},x_{2},}$ то неравенство можно привести к виду соответственно:

${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})>0}$ или ${\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})<0.}$

В первом случае ${\displaystyle x-x_{1}}$ и ${\displaystyle x-x_{2}}$ должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило[4].

Если оказалось, что у уравнения ${\displaystyle x^{2}+px+q=0}$ вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех ${\displaystyle x.}$ Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры[5]).

Пример 1. ${\displaystyle -2x^{2}+14x-20>0.}$ Разделив на ${\displaystyle -2,}$ приведём неравенство к виду: ${\displaystyle x^{2}-7x+10<0.}$ Решив квадратное уравнение ${\displaystyle x^{2}-7x+10=0,}$ получаем корни ${\displaystyle x_{1}=2;x_{2}=5,}$ поэтому исходное неравенство равносильно такому: ${\displaystyle (x-2)(x-5)<0.}$ Согласно приведенному выше правилу, ${\displaystyle 2<x<5,}$ что и является ответом.

Пример 2. ${\displaystyle -2x^{2}+14x-20<0.}$ Аналогично получаем, что ${\displaystyle x-2}$ и ${\displaystyle x-5}$ имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, ${\displaystyle x<2,}$ или ${\displaystyle x>5.}$

Пример 3. ${\displaystyle x^{2}+6x+15>0.}$ Уравнение ${\displaystyle x^{2}+6x+15=0}$ не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех ${\displaystyle x.}$ При ${\displaystyle x=0}$ левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех ${\displaystyle x}$).

Пример 4. ${\displaystyle x^{2}+6x+15<0.}$ Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ - построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах[6].

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.