Неравенство Йенсена
Нера́венство Йе́нсена — неравенство, введённое Иоганом Йенсеном и тесно связанное с определением выпуклой функции.
![](../I/Convex-function-graph-1.png.webp)
Формулировки
Конечный случай
Пусть функция является выпуклой на некотором промежутке и числа таковы, что
- и .
Тогда каковы бы ни были числа из промежутка , выполняется неравенство:
или
- .
Замечания:
- Если функция вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
- Сам Иоган Йенсен исходил из более частного соотношения, а именно
- , оно отвечает случаю .
Доказательство проводится методом математической индукции.
- Для неравенство следует из определения выпуклой функции.
- Допустим, что оно верно для какого-либо натурального числа , докажем, что оно верно и для , то есть
- .
С этой целью, заменим слева сумму двух последних слагаемых одним слагаемым
- ;
это даст возможность воспользоваться неравенством для и установить, что выражение выше не превосходит суммы
- .
Остаётся лишь применить к значению функции в последнем слагаемом неравенство для . Таким образом по методу математической индукции неравенство Йенсена полностью доказано.
Геометрическая интерпретация
Точка является соответствующей выпуклой комбинацией точек . Из определения выпуклой функции очевидно, что выпуклая оболочка этого множества точек будет совпадать с самим множеством. Значит, из свойств выпуклой комбинации следует, что образованная точка будет лежать внутри многоугольника, построенного на перечисленных точках в указанном порядке (если соединить последнюю с первой).
Геометрически очевидно, что в этом случае точка будет лежать выше одной из прямых вида . Но у выпуклой функции по определению такая прямая лежит выше графика функции. Значит, и точка лежит выше этого графика, что и означает, что .
Вероятностная формулировка
Пусть — вероятностное пространство, и — определённая на нём случайная величина. Пусть также — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если , то
- ,
где означает математическое ожидание.
Неравенство Йенсена для условного математического ожидания
Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, — под-σ-алгебра событий. Тогда
- ,
где обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры .
Частные случаи
Неравенство Гёльдера
- Пусть , где (выпуклая функция). Имеем
- , и
Обозначим , где - произвольные положительные числа, тогда неравенство запишется в виде
- .
Заменяя здесь на и на , получаем известное неравенство Гёльдера:
- .
Неравенство Коши
- Пусть (вогнутая функция). Имеем
- , или , потенцируя получаем .
В частности при получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)
- .
Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическим
- Пусть (выпуклая функция). Имеем
- . Положив и потенцируя, получаем
- (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)
Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическим
- Пусть (выпуклая функция). Имеем
В частности при получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:
Литература
- Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5.
- Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0.