Неравенство Йенсена

Пусть функция ${\displaystyle f\left(x\right)}$ является выпуклой на некотором промежутке ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ и числа ${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}}$ таковы, что

${\displaystyle \ q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n}>0}$ и ${\displaystyle \ q_{1}+q_{2}+\ldots +q_{n}=1}$.

Тогда каковы бы ни были числа ${\displaystyle \ x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$ из промежутка ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$, выполняется неравенство:

${\displaystyle f(q_{1}x_{1}+q_{2}x_{2}+\ldots +q_{n}x_{n})\leq q_{1}f(x_{1})+q_{2}f(x_{2})+\ldots +q_{n}f(x_{n})}$

или

${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}q_{i}f(x_{i})}$.

Замечания:

• Если функция ${\displaystyle \ f(x)}$ вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
• Сам Иоган Йенсен исходил из более частного соотношения, а именно

${\displaystyle f\left({\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\right)\leq {\frac {f(x_{1})+f(x_{2})}{2}}}$, оно отвечает случаю ${\displaystyle q_{1}=q_{2}={\frac {1}{2}}}$.

Точка ${\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}$ является соответствующей выпуклой комбинацией точек ${\displaystyle (x_{1},f(x_{1})),(x_{2},f(x_{2})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))}$. Из определения выпуклой функции очевидно, что выпуклая оболочка этого множества точек будет совпадать с самим множеством. Значит, из свойств выпуклой комбинации следует, что образованная точка будет лежать внутри многоугольника, построенного на перечисленных точках в указанном порядке (если соединить последнюю с первой).

Геометрически очевидно, что в этом случае точка ${\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}$ будет лежать выше одной из прямых вида ${\displaystyle (x_{i};f(x_{i}))-(x_{i+1};f(x_{i+1}))}$. Но у выпуклой функции по определению такая прямая лежит выше графика функции. Значит, и точка ${\displaystyle (\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}};\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})})}$ лежит выше этого графика, что и означает, что ${\displaystyle f(\sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}})\leq \sum \limits _{i=1}^{n}{q_{i}f(x_{i})}}$.

Для выпуклой функции ${\displaystyle \varphi \left(x\right)}$ и интегрируемой функции ${\displaystyle f\left(x\right)}$ выполняется неравенство

${\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.}$

Пусть ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ — вероятностное пространство, и ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ — определённая на нём случайная величина. Пусть также ${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если ${\displaystyle X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, то

${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)]}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot ]}$ означает математическое ожидание.

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше, ${\displaystyle {\mathcal {G}}\subset {\mathcal {F}}}$ — под-σ-алгебра событий. Тогда

${\displaystyle \varphi (\mathbb {E} [X|{\mathcal {G}}])\leqslant \mathbb {E} [\varphi (X)|{\mathcal {G}}]}$,

где ${\displaystyle \mathbb {E} [\cdot |{\mathcal {G}}]}$ обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$.

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=x^{k}}$, где ${\displaystyle \ x>0,}$ ${\displaystyle \ k>1}$ (выпуклая функция). Имеем

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}^{k}}}$,      ${\displaystyle \ q_{1},\ldots ,q_{n}>0}$ и ${\displaystyle \ q_{1}+\ldots +q_{n}=1}$

Обозначим ${\displaystyle \ q_{i}={\frac {p_{i}}{p_{1}+\ldots +p_{n}}}}$, где ${\displaystyle \ p_{1},\ldots ,p_{n}}$- произвольные положительные числа, тогда неравенство запишется в виде

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}}\right)^{k}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{p_{i}}\right)^{k-1}\sum _{i=1}^{n}{p_{i}x_{i}^{k}}}$.

Заменяя здесь ${\displaystyle \ p_{i}}$ на ${\displaystyle \ b_{i}^{\frac {k}{k-1}}}$ и ${\displaystyle \ x_{i}}$ на ${\displaystyle {\frac {a_{i}}{b_{i}^{\frac {1}{k-1}}}}}$, получаем известное неравенство Гёльдера:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{a_{i}b_{i}}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}{a_{i}}^{k}\right)^{\frac {1}{k}}\left(\sum _{i=1}^{n}{b_{i}}^{\frac {k}{k-1}}\right)^{\frac {k-1}{k}}}$.

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=\ln x}$ (вогнутая функция). Имеем

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{q_{i}\ln x_{i}}\leq \ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)}$, или ${\displaystyle \ln \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \ln \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}$, потенцируя получаем ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}{x_{i}^{q_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}$.

В частности при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}$ получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x_{1}\ldots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}$.

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)=x\ln x}$ (выпуклая функция). Имеем

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\ln \left(\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}\ln x_{i}}}$. Положив ${\displaystyle q_{i}={\frac {\frac {1}{x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}}$ и потенцируя, получаем

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq \left(x_{1}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)^{1/n}}$ (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

• Пусть ${\displaystyle \ f(x)={\frac {1}{x}}}$ (выпуклая функция). Имеем ${\displaystyle {\frac {1}{\sum _{i=1}^{n}{q_{i}x_{i}}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{x_{i}}}}$

В частности при ${\displaystyle q_{i}={\frac {1}{n}}}$ получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

${\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\ldots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\frac {x_{1}+\ldots +x_{n}}{n}}}$