Неравенство Юнга

Нера́венство Ю́нга в математике — элементарное неравенство, используемое в доказательстве неравенства Гёльдера. Является частным случаем более общего неравенства Юнга — Фенхеля.

Формулировка

Пусть $a,b\geqslant 0$ и $p,q>\!\ 1$ — сопряженные показатели (то есть такие числа, что ${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$ ). Тогда

ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}

.

Доказательство

Для $a=0$ или $b=0$ неравенство очевидно. Для $a>0$ , $b>0$ неравенство следует из выпуклости вверх ("впуклости") (это свойство называется также вогнутостью) логарифмической функции: для любых $x_{1}$ , $x_{2}>0$

$\ln(\alpha x_{1}+\beta x_{2})\geqslant \alpha \ln x_{1}+\beta \ln x_{2},~~~\forall \alpha ,\beta \geqslant 0,\alpha +\beta =1$ .

Положив в этом неравенстве $\alpha =p^{-1},~\beta =q^{-1},~x_{1}=a,~x_{2}=b,$ получим, что

$\ln \left({\frac {a}{p}}+{\frac {b}{q}}\right)\geqslant {\frac {\ln a}{p}}+{\frac {\ln b}{q}}=\ln \left(a^{\frac {1}{p}}b^{\frac {1}{q}}\right)$ ,

которое равносильно неравенству Юнга.

Альтернативный вариант

Доказательство, как частный случай неравенства Юнга — Фенхеля. Для скалярной функции неравенство Юнга — Фенхеля записывается в виде:

f(x)+f^{\star }(y)\geqslant y\cdot x

,

где $f^{\star }(y)=\mathrm {max} _{x}(xy-f(x))$ есть преобразование Лежандра от функции $f(x)$ .

Если положить $f(x)=x^{p}/p$ , то преобразование Лежандра в точке ${\bar {y}}={\bar {x}}^{p-1}$ даёт

f^{\star }({\bar {y}})={\bar {x}}{\bar {y}}-{\bar {x}}^{p}/p={\bar {y}}^{q}/q

,

где $1/q=1-1/p$ . Подставляя полученное в исходное неравенство, получаем искомый результат.

Замечание

Равенство достигается в том и только том случае, когда $a^{p}=b^{q}$ .

См. также

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.